一道小学四年级奥数竞赛题，谁有好方法解？

天山泉

20世纪（1900～1999）年的某一天，弟弟对哥哥说：“哥哥你看，把你出生年份中的四个数字加起来，就是我的年龄。”哥哥说：“你说得对，对我来说也是一样的，把你出生的年份的四个数字加起来就是我的年龄。另外，如果把我们各自年龄的两个数字对调一下，就能得到对方的年龄。”。已知兄弟俩出生的年份不同，那么这段对话发生在哪一年？

luyuanhong

题  兄弟两人出生年份不同。20世纪的某一天，把哥哥出生年份中的数字加起来，

就是弟弟的年龄，把弟弟出生年份中的数字加起来，就是哥哥的年龄。另外，将

两人年龄中的两个数字对调一下，就是对方的年龄。问：这事发生在那一年？

解  两人只可能出生在 1800～1999 年之间，将出生年份数字加起来，最多只有

28，所以两人年龄都不超过 28 岁。在此范围内，要得到两个两位数字正好对调、

而且两位数字不同的二位数，只有 12 和 21 。

    两人年龄相差 21 - 12 = 9 ，所以出生年份也必须相差 9 ，而且出生年份

中的数字加起来，也必须相差 9 。要做到这一点，必须有一个出生年份的个位数

是 0 ，另一个出生年份的个位数是 9 ，而且两个出生年份前面三位数都相同。

再考虑到每人出生年份的数字之和正好是对方的年龄，不难求出：

   哥哥的出生年份是 1920 年，年龄是 21 岁。

   弟弟的出生年份是 1929 年，年龄是 12 岁。

   发生这事的年份是 1941 年。

天山泉

谢谢陆老师的解答。我是天山草的孙子，我爷爷的做法如下，是列方程的方法，有点麻烦。
解：设哥哥出生于19xy年，弟弟出生于19uv年，兄弟俩说这话是在19ab年。其中x,y,u,v,a,b都是一位数。于是：
  弟弟年龄是 10+x+y=(10a+b)-(10u+v).---------------(1)
哥哥年龄是 10+u+v=(10a+b)-(10x+y).---------------(2)
(2)-(1)得：
u+v-x-y=10u+v-10x-y，即 0=9u-9x，故
             u=x. ---------------------------------------(3)
将 u=x 代入(2)得
哥哥年龄是 10+x+v.--------------------------------------(4)
   哥哥年龄减去弟弟年龄等于 10+x+v-10-x-y=v-y≤9.
由此可知，哥哥和弟弟的年龄都大于10岁，且二人的年龄差小于等于9岁（这是因为 v 和 y 都是一位数，故
v-y≤9. -------------------------------------（5）
又知哥、弟年龄数字对调就得到对方年龄，所以不论哥、弟，其年龄的十位数与个位数是两个相邻的数字。不然的话，哥、弟的年龄之差将会大于10，而不是小于等于9. 如果是相邻数字，则弟弟年龄是12、23、34等等，哥哥年龄相应是21、32、43等等，无论是哪种组合，他们的年龄差都是9岁。由（5）式知
            v=9,y=0.
  将 y=0 代入（1）得，弟弟年龄是 10+x=12、23、34 等等，因为 x 是一位数，因此只能取 x=2. 即弟弟年龄是12岁，哥哥年龄是21岁。哥哥出生于1920年，故兄弟俩对话是在1941年。

luyuanhong

楼上 天山草 的解答不错！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

重生888

天山泉会前途无量！