在四边形 ABCD 中，∠A+∠C=90°，求证：(AB×CD)^2+(AD×BC)^2=(AC×BD)^2

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

denglongshan

首先祝大家新年快乐！
图片中假设B在原点。

以上结论还可以进一步简化

luyuanhong

谢谢楼上 denglongshan 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

denglongshan

设a，b，c，d是ABCD在复平面的表示。AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是如下复数的模：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。注意到复数恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d)，而且比较幅角可知，由于角A+角C=90度，故复数(a − b)(c − d)和复数(a − d)(b − c)的夹角是90度。因此，对于形成闭合三角形的三个复数(a − b)(c − d)、(a − d)(b − c)和(a − c)(b − d)而言，有勾股定理成立，因此换算到模长，有(AB*CD)^2+(BC*AD)^2=(AC*BD)^2成立。事实上，有如下的“广义托勒密定理”：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有：m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(A+C)。

以上内容来自百度作用帮，不明白红色标记的那几句。

luyuanhong

谢谢楼上 denglongshan 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。