设 f(x)=3ax^2+2bx+c（a≠0），当 0≤x≤1 时，｜f(x)｜≤1 ，求 a 的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：



請問為什麼要用 f(1/2) ? 1/2 這個數字是怎樣來的? 是否有其他的方法? 謝謝

乐浪虬

（直观感受，非严谨证明）：a要大即是要抛物线弯曲得越厉害，而这个函数在【0,1】内被限制在【-1,1】中，可以想象是在两区间端点取到最大值1且顶点取最小值-1时a最大，并由对称性知顶点为1/2.解答最后一步利用绝对值不等式放缩，消去无关的b,c时要达到取等条件，取f(1/2)是因为在上述达到最值的条件中，f(1/2)=-1满足绝对值不等式取等要求，而别的点会放过。
讨论单调性、对称轴也能做，但无关变量太多，图给的方法是最优的。

luyuanhong

谢谢楼上 乐浪虬 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。