对泛函概念的一点疑问。

fm1134

elimqiu

很多具体的线性赋范空间是一些特别常用的函数空间。

fm1134

[这个贴子最后由fm1134在 2010/10/02 05:38am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/10/01 09:36pm 发表的内容：
很多具体的线性赋范空间是一些特别常用的函数空间。

    虽然很多具体的线性赋范空间都是函数空间，但前者所包含的范围比后者要广，因此1
楼中的两种定义会引发出矛盾来。比如：按照定义1，作为数到数的映射，函数也可以看作
是泛函，但按照定义2，函数就不能看作泛函。

elimqiu

还有非线性泛函，这就是说线性赋范空间也不够一般。
泛函的概念是从变分法那里来的。从历史上看，泛函是自变量为函数，取值为数的映射。
但是数可以看成是常值函数。所以还是可以有一个适用性较大的泛函的理解。

fm1134

下面引用由elimqiu在 2010/10/01 10:59pm 发表的内容：
还有非线性泛函，这就是说线性赋范空间也不够一般。
泛函的概念是从变分法那里来的。从历史上看，泛函是自变量为函数，取值为数的映射。
但是数可以看成是常值函数。所以还是可以有一个适用性较大的泛函的理解。

这么说来，如果把全体泛函和全体函数分别看作集合A和集合B，那么B只不过是A的一个真子
集？也就是说，普通的函数都也都是泛函了？

fleurly

我觉得可以把泛函看作是集合到集合之间的映射的一种特例

elimqiu

下面引用由fm1134在 2010/10/04 03:48am 发表的内容：
这么说来，如果把全体泛函和全体函数分别看作集合A和集合B，那么B只不过是A的一个真子
集？也就是说，普通的函数都也都是泛函了？

下面引用由fleurly在 2010/10/04 07:26pm 发表的内容：
我觉得可以把泛函看作是集合到集合之间的映射的一种特例

泛函应该是经典函数的一个推广，而映射是最一般的对应关系。 这些理解都没什么问题。所以要紧的还是遇到具体的书或问题要具体地对待。根据材料提供的定义，在自己的较具弹性的一般框架里定位遇到的数学对象。
很多词汇的用法有差别的现象一般很难规范化。 每次碰到集大成者，极具影响的著作，情况就有所改观。