求底面半径 6 的圆柱体被过底面直径与底面夹角 30° 的斜切平面截得较小部分的体积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

一圓柱體的半徑為6，有一平面斜切此圓柱並通過底面的圓之直徑，

此斜切平面與圓所在的平面夾角為30度，求比較小的截面體積？

luyuanhong

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当垂直于 x 轴的直角三角形截面高度始终小于圆柱体的高度时，

截面始终是一个直角三角形，不必分情况讨论。

第 1 楼的题目中，没有给出圆柱体的高度，一般来说，可认为

三角形截面的高度始终小于圆柱体的高度，所以不必分情况讨论。

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但是，在下面这个题目中，直角三角形截面的高度 √[3(8-x^2)]

有可能大于圆柱体的高度 2√3 ，就需要分情况讨论了：

当 √[3(8-x^2)]＞2√3 ，即 |x|＜2 时，截面是一个直角梯形。

当 √[3(8-x^2)]≤2√3 ，即 |x|≥2 时，截面是一个直角三角形。