平移函数的幂级数展开？？

qingjiao

假设有一函数f(x)可在x=0处展开成无穷幂级数f(x)=f(0)+f`(0)x+f``(0)x^2/2!+f```(0)x^3/3!+...

那么将f(x)平移a单位，是否必然成立：f(x-a)=f(0)+f`(0)(x-a)+f``(0)(x-a)^2/2!+f```(0)(x-3)^3/3!+...

及f(x+a)=f(0)+f`(0)(x+a)+f``(0)(x+a)^2/2!+f```(0)(x+a)^3/3!+...

luyuanhong

平移相当于用 x-a 或 x+a 代入原来幂级数中 x 的位置，这当然是可以的。

不过要注意，平移后，原来幂级数的收敛范围也要平移。

例如，原来 1/(1-x) 在 x=0 处的幂级数展开式为

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+… 。

这个幂级数展开式的收敛范围是 -1＜x＜1 。

用 x-a 代入 x ，得到幂级数展开式

1/[1-(x-a)]=1+(x-a)+(x-a)^2+(x-a)^3+… 。

它的收敛范围为 -1＜x-a＜1 ，即 a-1＜x＜a+1 。