9 个有区别的物品，放入 3 个无区别的箱子，允许箱子为空箱，有几种不同的放法？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

9個不同的物品 存放於三個相同的箱中  允許箱子有空物的情況又幾種?

luyuanhong

题 9 个有区别的物品，放入 3 个无区别的箱子，允许箱子为空箱，有几种不同的放法？

解 9 个物品，放入 3 个无区别的箱子，从放入的物品数来说，可分为下列 12 种情形：

（1）（9，0，0）。

    9 个物品都放入一个箱子，只有 1 种放法。

（2）（8，1，0）。

    从 9 个物品中取 8 个放入一个箱子，其余放入另一个箱子，有 C(9,8)=9 种放法。

（3）（7，2，0）。

    从 9 个物品中取 7 个放入一个箱子，其余放入另一个箱子，有 C(9,7)=36 种放法。

（4）（6，3，0）。

    从 9 个物品中取 6 个放入一个箱子，其余放入另一个箱子，有 C(9,6)=84 种放法。

（5）（5，4，0）。

    从 9 个物品中取 5 个放入一个箱子，其余放入另一个箱子，有 C(9,5)=126 种放法。

（6）（7，1，1）。

    从 9 个物品中取 7 个放入一个箱子，从其余 2 个中取 1 个放入另一个箱子，其余

1 个放入第三个箱子，有 C(9,7)C(2,1) 种放法，但两个放 1 物品的箱子实际上无区别，

所以还要除以 2! ，所以有 C(9,7)C(2,1)/2!=36 种放法。

（7）（6，2，1）。

    从 9 个物品中取 6 个放入一个箱子，从其余 3 个中取 2 个放入另一个箱子，其余

1 个放入第三个箱子，有 C(9,6)C(3,2)=252 种放法。

（8）（5，3，1）。

    从 9 个物品中取 5 个放入一个箱子，从其余 4 个中取 3 个放入另一个箱子，其余

1 个放入第三个箱子，有 C(9,5)C(4,3)=504 种放法。

（9）（4，4，1）。

    从 9 个物品中取 4 个放入一个箱子，从其余 5 个中取 4 个放入另一个箱子，其余

1 个放入第三个箱子，有 C(9,4)C(5,4) 种放法，但两个放 4 物品的箱子实际上无区别，

所以还要除以 2! ，所以有 C(9,4)C(5,4)/2!=630 种放法。

（10）（5，2，2）。

    从 9 个物品中取 5 个放入一个箱子，从其余 4 个中取 2 个放入另一个箱子，其余

2 个放入第三个箱子，有 C(9,5)C(4,2) 种放法，但两个放 2 物品的箱子实际上无区别，

所以还要除以 2! ，所以有 C(9,5)C(4,2)/2!=378 种放法。

（11）（4，3，2）。

    从 9 个物品中取 4 个放入一个箱子，从其余 5 个中取 3 个放入另一个箱子，其余

2 个放入第三个箱子，有 C(9,4)C(5,3)=1260 种放法。

（12）（3，3，3）。

    从 9 个物品中取 3 个放入一个箱子，从其余 6 个中取 3 个放入另一个箱子，其余

3 个放入第三个箱子，有 C(9,3)C(6,3) 种放法，但三个放 3 物品的箱子实际上无区别，

所以还要除以 3! ，所以有 C(9,3)C(6,3)/3!=280 种放法。

    综合以上分析，可知 9 个有区别的物品，放入 3 个无区别的箱子，不同放法总数为

    1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 36 + 252 + 504 + 630 + 378 + 1260 + 280 = 3596 。