7 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，甲至少要得到一本，有几种分法？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

7 本不同書 分給 甲乙丙三人 甲至少得一本 有幾種方法

先給甲一本 剩下的6本任意分

7x (3^6)

  請問這個方法錯在那裏?

luyuanhong

题  7 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，甲至少要得到一本，有几种分法？

解  先不考虑“甲至少要得到一本”的条件。

    每本书都可以任意分给甲、乙、丙三人，7 本书共有 3^7 种不同分法。

    其中，甲一本书也分不到的情况，相当于将 7 本书都分给乙、丙两人，

有 2^7 种不同的分法。

    甲至少要得到一本书的情况，相当于要从总的情况中，扣除甲一本书也

分不到的情况，所以甲至少要得到一本书时，不同的分法数为

      3^7 - 2^7 = 2187 - 128 = 2059 。

注  下列做法是不对的：

    先从 7 本书中任选一本书给甲，然后将剩下的 6 本书任意分给甲、乙、丙

三人，共有 7×3^6 = 7×729 = 5103 种不同分法。

    为什么这样计算不对？因为有重复计算。

    例如，一种情况是，先从 7 本书中选一本 1 号书给甲，然后在任意分配时

又将一本 2 号书分给甲。另一种情况是，先从 7 本书中选一本 2 号书给甲，

然后在任意分配时又将一本 1 号书分给甲。这两种情况，其实是同一种情况，而

按照上面的计算，算作是两种不同的分法，这样就产生了重复计算，所以结果不对。

重生888

请问陆教授，这是单纯排列，还是既有排列，又有组合？

luyuanhong

重生888 发表于 2016-5-10 10:02
请问陆教授，这是单纯排列，还是既有排列，又有组合？

从 m 种不同物体中，可以有重复地取 n 次，排成一列，共有 m^n 种不同的排列。

对本题来说，每一本书都可以分给甲乙丙 3 人，相当于从甲乙丙 3 种物体中取一种，

因为可以有多本不同的书都分给同一个人，所以，这样的选取，是可以有重复的。

7 本书选定归属后，因为各本书都是不同的，所以可以按书号排成一列。

这就相当于从 3 种物体中，可有重复地选 7 次，排成一列，所以共有 3^7 种不同

的排列，也就是说，7 本不同的书分给 3 个不同的人，共有 3^7 种不同的分法。

重生888

谢谢陆教授·！