考试共 15 题，对四题以上者平均对 6 题，对十题以下者平均对 4 题，问人数至少是几？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

白新岭

如果把”答对题数的部分统计资料如下表“，改成”答题人的统计资料如下“，题就变得很容易了，只要求得4,6的最小公倍数就可以了，4,6的最小公倍数是12，获得3人，答对6题2人，一题也不对的1人，满足了最少人数为3（不管统计表）；加了附加条件后，我们仍然是求最小公倍数（把平均答对4题与6题作为求最小公倍数的条件），先求答对4题一下的总共分数（假设1题1分）1*8+2*10+3*21=91分，46人，答对12题以上者12*15+13*6+14*3+15*1=315,25人，我们假设答对4题，至10题的人数为x，总分为y，答对11的z人，全部答对的就不管了，这样我们建立一个方程组：（x+z+25）*6=y+11z+315；（46+x）*4=91+y；化简方程组可得5z=2*（x-129），因为x是人数必须大于或等于129，这时把x=129代入方程组得到z=0，y=609，那么x=129，y=609是否有可能性呢？609/129=4.72多，即4a+5b+6c+7d+8e+9f+10g=609，与a+b+c+d+e+f+g=129有无正整数，只要能举出一例就可以判定了。

luyuanhong

谢谢楼上 白新岭 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

白新岭

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        36        144
2        5        93        465
3        6                0
4        7                0
5        8                0
6        9                0
7        10                0
                129        609


4a+5b=609，        4a+5b=609，        b=93       
a+b=129  ，        4a+4b=516 ，        a=36       


序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        37        148
2        5        91        455
3        6        1        6
4        7                0
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

只要求得一解。下来就容易了，增加答对6题1人，相应                       
的减少答对题5的，和增加答对题4的，也就是两两的去                       
答对题5的，分增题4的和题6的，安此思路继续……..                       
                       
序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        38        152
2        5        89        445
3        6        2        12
4        7                0
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        39        156
2        5        87        435
3        6        3        18
4        7                0
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        40        160
2        5        85        425
3        6        4        24
4        7                0
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        41        164
2        5        83        415
3        6        5        30
4        7                0
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        42        168
2        5        81        405
3        6        6        36
4        7                0
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        82        328
2        5        1        5
3        6        46        276
4        7                0
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

答对4题的人数增至最大(限制有答对5题的人），继续分解                       
方法同上，这次拆分答对6题的人数。                       
序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        82        328
2        5        2        10
3        6        44        264
4        7        1        7
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        82        328
2        5        3        15
3        6        42        252
4        7        2        14
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        82        328
2        5        4        20
3        6        40        240
4        7        3        21
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        82        328
2        5        23        115
3        6        2        12
4        7        22        154
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        82        328
2        5        24        120
3        6        0        0
4        7        23        161
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        94        376
2        5        0        0
3        6        12        72
4        7        23        161
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        94        376
2        5        6        30
3        6                0
4        7        29        203
5        8                0
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        94        376
2        5        6        30
3        6        14        84
4        7        1        7
5        8        14        112
6        9                0
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        94        376
2        5        6        30
3        6        14        84
4        7        8        56
5        8        0        0
6        9        7        63
7        10                0
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        94        376
2        5        6        30
3        6        14        84
4        7        8        56
5        8        3        24
6        9        1        9
7        10        3        30
……        ……        129        609

序号        答对题数        答题人数        总积题数
1        4        96        384
2        5        9        45
3        6        7        42
4        7        6        42
5        8        5        40
6        9        4        36
7        10        2        20
……        ……        129        609