|
|
自从两千年前古希腊的哲学家和数学家芝诺匪夷所思地创造出来四个违反常识的悖论之后,这四个芝诺悖论便从古至今地困绕着世界上最伟大的哲学家和数学家.
有人说,运用现代的微积分理论,已可以彻底的解决芝诺悖论,但其实,现代的任何先进的数学理论都无法说得上能够彻底的解决芝诺悖论.
本人学识短浅,试图通过一种数学模型的方法更深入的表达一下芝诺悖论所要揭示的本质问题,若有荒唐不当之处,仅搏一笑而已.
本人对于阿基里斯追不上乌龟的那个悖论尚没有做出有突破的研究论述,因此本文只论述一下:飞矢因何不动?
要论证一下飞矢因何不动,就先要介绍芝诺的两个悖论:第一个是两分法悖论,第二个是飞矢不动悖论.这两个悖论所要揭示的其实是同一个论题:运动是不可能的.
(1):两分法悖论是说:一个物体不能由A点到达B点,因为该物体在到达B点之前,必先经过AB的中点C,而到达C点之前,必先到达AC的中点D,而到达D点之前,又必须先到达AD的中点E......依此类推,以至无穷,照这个逻辑推算,该物体非但是到达不了它所要运动的终点B,甚至连原点A也离开不了.
(2):飞矢不动悖论是说:一枝飞行中的箭其实应该是静止的,因为这枝箭在每一个时刻里都有其确定的位置,因此是静止的,所以它就不能处于运动的状态.
芝诺创造的这两个悖论无疑是违反常识的,但是谁也说不清楚,他所运用的逻辑究竟错在了哪里?我看过许多号称是解决了芝诺悖论的人的论述,都感觉他们是自说自话,都没有真正的揭示芝诺所要表达问题的实质问题.至于一些比较专业的哲学人士用空间的可分性与不可分性来解释芝诺悖论,由于那些个哲学术语太过于深奥难懂,一千个人读了会有一千种不同的理解,因此本文抛开那些专业的概念,试图用一种数学模型的方法尽量最简单明了地表达芝诺悖论想要揭示的问题本质.
我们先来创造一种数学模型:假设有一条线段AB,当然,这条线段AB是数学中的一维线段,它是有长度,没有宽度的(宽度为0),这种线段在现实之中是不存在的,只是数学之中的一个理想化的概念.
其次,假设在线段AB的起始点A点上有一只小虫Q,这里有一个条件,那就是假设这只小虫Q是没有大小的,其长度为0,也就是相当于线段上的一个点.
为什么非得要做这样的假设呢?因为数学家为了研究诸如空间,位置等问题,往往将一些概念做理想化的处理,如欧氏几何中对于点的概念,是指其在空间中所处的位置,而其本身是没有大小的.
我们已经假设了有一条线段AB,在这条线段AB的A点上有一只长度为0的小虫Q,下面,我们就要用这个简单的数学模型来论述:运动是不可能的:
前面介绍了两分法悖论和飞矢不动悖论,将这个数学模型代入到两分法悖论中便是:小虫Q无法从线段AB的A点运动到B点,芝诺在这其中所运用的逻辑已经介绍过了:小虫Q在到达B点之前必先到达AB的1/2处,而到达AB的1/2处之前,又必须先到达AB的1/4处.......这个过程是无穷的,小虫Q不能在有限的时间里跨越无穷多个步骤.
有些人破解这个悖论的方法是这样的:线段AB是有限的空间,它可以无限分割,但小虫Q仍然可以在有限的时间里通过这些分割后的无限空间,因为时间也是可以无限分割的,将无限分割后的时间与无限分割后的空间一一对应,小虫Q便可以在有限的时间里到达B点.
这样说非常有道理,简直是无可辩驳的.但其实,问题远还没有那么简单,否则的话,芝诺悖论也不会至今还困绕着世界上的那些杰出天才们了.
好,重新回到论题上来,在这里,我将抛开那些令人烦恼的无穷多个步骤,而直接论证:小虫Q无论怎么运动也离不开原点A.
小虫Q若要从线段AB的A点运动到B点,且不说其中间所要经历的无穷多个步骤,那么它第一步所要做的事情就是:离开原点A.
这是无须质疑的:因为小虫Q只有离开了它所在的位置A,才能向其他的方向运动,如果它不离开它所在的位置A,就只能是永远静止的停留在这个位置上.
在这里还需要做一个看似多余的数学定义:什么叫做"离开原点A"?也就是说:小虫Q原本所处的位置是A点(与A点重合),当它已不在这个位置的时候,就叫做离开原点A.
这个数学定义看似很多余,很无聊,很小儿科,但是请相信我,它绝对是有用的.
问:小虫Q离开原点A需要多长时间?
答:小虫Q离开原点A需要的时间为0.
为什么小虫Q离开原点A的时间是0?在这里需要类推一下:我们先前所做的假设中,线段AB是由点构成的,而点是没有大小的.为了说明小虫Q离开原点A所用的时间为0,我们不妨换另外的一种假设:假设点是有大小的.
假设点的大小为1,小虫Q离开这个点的时间为1;再假设点的大小为1/2,则小虫Q离开这个点的时间为1/2;若假设点的大小为1/8,则小虫Q离开这个点的大小是多少?我想大家都会算了,是1/8.
那么,假设点的大小为0,小虫Q离开这个点的时间是多少?当然是0.
好了,我们知道了小虫Q离开原点A的时间为0,那么,接下来,有趣的事情发生了:问:小虫Q究竟有没有离开原点A?
因为小虫Q离开原点A的时间是0,用时间乘以它的速度,等于它所移动的距离,而不管小虫Q的速度是多少,它离开原点A的距离都是0.
也就是说,小虫Q其实根本就没有动,它依然还是停留在原点A上.
但前面我们明明说小虫Q已经离开了原点A,为什么它依然还是停留在原点A上没有动?
在这个过程中,它究竟是静止的,还是运动的?
写到这里,不由得不让我想起来一个量子力学中的一个著名的悖论,那就是薛定锷猫悖论:那只处在量子世界的黑暗小钢盒里的猫处于既死又活,生与死的叠加状态里,很让人觉得不可思议.
那么,这只小虫Q是不是也处于既动且静,动与静的叠加状态?
但是,数学严谨的讲究二值逻辑,即一件事物非真即假,非动即静,如果某一件事物既是真的同时又是假的,既是动的同时又是不动的,那么就一定是悖论.而悖论在数学世界里是行不通的.
再将这个悖论推广一下:我们知道小虫Q在运动的过程中永远也离不开原点A是违背常识的,小虫Q其实是可以从A点运动到B点的.那么再看一下这其中的过程:
小虫Q在从线段AB的A点运动到B点的过程中,会经历线段AB上的每一个点(没有哪一个点是经历不到的),并且它在每一个时刻里都会处于一个确定的点(位置)上,同时又要离开这个点(位置),问:它经过线段AB上的每一个点的时间是多少?
答,它经过线段AB上的任何一点的时间均为0(道理同上).
则小虫Q从线段AB的A点运动到B点所用的总时间便是无穷个0相加,则结果等于0.
但事实却是,小虫Q从A点运动到B点足足用了两分钟,这又是怎么回事?
通过上面的例子可以联想一下:点是没有长度的,为什么没有长度的点却能构成有长度的线段?
|
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2010-10-12 22:30
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡
楼主