[原创] 向moranhuishou请教这个问题————

luyuanhong

用下列比较复杂的公式，还可以给出 a^2+b^2=c^3 的另一批正整数解：

  a=｜(m^2-n^2)^2-(2mn)^2｜(m^2+n^2) ,
  b= 4mn｜m^2-n^2｜(m^2+n^2) ,
  c=(m^2+n^2)^2 。
其中 m , n 可以是任何正整数。

      35^2+120^2=25^3
     280^2+960^2=100^3  1547^2+1560^2=169^3
   2737^2+4080^2=289^3  2240^2+7680^2=400^3  13175^2+8400^2=625^3
12376^2+12480^2=676^3 1189^2+24360^2=841^3 21896^2+32640^2=1156^3 62279^2+29520^2=1681^3

luyuanhong

用下列更加复杂的公式，又可以给出 a^2+b^2=c^3 的另一批正整数解：

       a= (m^2+n^2)｜mp(p^2-3q^2)+nq(3p^2-q^2)｜ ,
       b= (m^2+n^2)｜mq(3p^2-q^2)-np(p^2-3q^2)｜ ,
       c= (m^2+n^2)(p^2+q^2) 。
       其中 m , n , p , q 可以是任何整数（ m^2+n^2≠0 , p^2+q^2≠0 ）。

m=1, n=2, p=2, q=3 ：  140^2+505^2=65^3 ； m=1, n=2, p=3, q=2 ：  415^2+320^2=65^3 ；
m=2, n=3, p=1, q=2 ：  364^2+377^2=65^3 ； m=2, n=3, p=2, q=1 ：  481^2+208^2=65^3 ；
m=1, n=2, p=1, q=4 ：  755^2+210^2=85^3 ； m=1, n=2, p=4, q=1 ：  730^2+285^2=85^3 ；
m=1, n=4, p=1, q=2 ：  323^2+714^2=85^3 ； m=1, n=4, p=2, q=1 ：  782^2+ 51^2=85^3 ；
m=1, n=2, p=3, q=4 ： 145^2+1390^2=125^3 ；m=1, n=2, p=4, q=3 ： 950^2+1025^2=125^3 ；
m=1, n=3, p=2, q=3 ： 190^2+1470^2=130^3 ；m=1, n=3, p=3, q=2 ： 1290^2+730^2=130^3 ；
m=2, n=3, p=1, q=3 ： 1378^2+546^2=130^3 ；m=2, n=3, p=3, q=1 ： 1482^2+ 26^2=130^3 ；
m=1, n=2, p=2, q=5 ：1360^2+1095^2=145^3 ；m=1, n=2, p=5, q=2 ： 1745^2+ 60^2=145^3 ；
m=2, n=5, p=1, q=2 ： 928^2+1479^2=145^3 ；m=2, n=5, p=2, q=1 ： 1711^2+348^2=145^3 ；
m=1, n=3, p=1, q=4 ： 2030^2+890^2=170^3 ；m=1, n=3, p=4, q=1 ：1930^2+1090^2=170^3 ；
m=1, n=4, p=1, q=3 ：1666^2+1462^2=170^3 ；m=1, n=4, p=3, q=1 ： 2074^2+782^2=170^3 ；
m=1, n=2, p=1, q=6 ： 2515^2+ 80^2=185^3 ；m=1, n=2, p=6, q=1 ：2060^2+1445^2=185^3 ；
m=1, n=6, p=1, q=2 ： 851^2+2368^2=185^3 ；m=1, n=6, p=2, q=1 ： 2516^2+ 37^2=185^3 ；
m=1, n=3, p=2, q=4 ：1360^2+2480^2=200^3 ；……

   其实，这个公式包含了前面的几个公式：

（1）当 p=1, q=0 时，就是：
    a=m(m^2+n^2) , b=n(m^2+n^2) , c=m^2+n^2 。
（2）当 m=1, n=0 时，就是：
    a=p｜p^2-3q^2｜, b=q｜3p^2-q^2｜, c=p^2+q^2 。
（3）当 p=n , q=m 时，就是：
    a= 4mn｜m^2-n^2｜(m^2+n^2) , b=｜(m^2-n^2)^2-(2mn)^2｜(m^2+n^2) , c=(m^2+n^2)^2 。

moranhuishou

陆先生对这个问题研究的很透彻。