关于幂级数的一道题

帝国之花

问题：1/（1-x）=1+x+x2+x3+x4。。。
      定义域为（-1,1）
      现在对-1取右极限，就会得到等式左边等于0.5，而右边是1-1+1-1+1。。。
      请问：为什么会出现这种情况？什么情况下可以取二次极限？

elimqiu

这个问题需要解析延拓的概念。可以看看复变函数论

帝国之花

那你就用复变函数理论说明它错在哪里吧？鄙人很想知道，但是尚未学习复变，多谢！

elimqiu

大致说： 1/(1-z) 在整个复平面除去点 z=1 的区域中都解析（在各点的一个邻域里可以表达成幂级数）在原点的一个邻域里 1/(1-z) = 1+z+z^2+z^3+… 成立。按照复函知道，这个领域是一个除去了单位圆周的单位圆内部。在单位圆周上右边的一般项不趋于0，所以发散。 从单位圆内部在 1/(1-z) = 1+z+z^2+z^3+… 两边令z → -1 就有 lim (1+z+z^2+z^3+…) = 1/2 |z|<1,z → -1 但是 1-1+1-1+… 发散，这就是说极限与级数求和运算的交换的可行性不是无条件的。 什么时候这么做不会出错？这对幂级数来说就是极限在收敛圆的内部。 对 1+z+z^2+z^3+… 可以作延拓 1/(1-z) = (1/(1-a))·(1+(z-a)/(1-a)+…+((z-a)/(1-a))^n+…) |z-a|< |1-a| 例如取 a 的实部 < 0， 那么 z = -1 在收敛圆内部，于是级数求和与变量求极限可以交换... 以上的说明在实数范围也能说清楚，只是复函对此有统一而彻底的处理。 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=- 更正： 这对幂级数来说就是z趋于的极限点在收敛圆的内部。

帝国之花

真谢谢你啊