简捷的勾股数通式

费尔马1

非常简单的勾股数通式：
令A∧2=uv，则a=2A，b=u-v，c=u+v。
其中，A为偶数，u、v一奇一偶且互质，u＞v。
就把这个公式称为蔡氏勾股数通式。

也可以表示为：
蔡氏勾股数本原解通式：
设(2n)^2 = uv，
其中，n为正整数，u, v一奇一偶且互质, u＞v ,
则a=4n，b=u -v，c=u+v ,
有a^2+b^2 = c^2

费尔马1

蔡家雄 发表于 2019-3-16 10:47
程氏勾股数本原解通式

令(2n)∧2=uv，

蔡老师言之有理，非常感谢您指点！

费尔马1

蔡家雄 发表于 2019-3-16 14:51
蔡家雄勾股数通式

整数a>=3，

建议您分两步，主要是求所有本原勾股数，当然，您的每个勾股数通式都能够求出全部解。
蔡家雄勾股数通式：
a∧2=uv，b=（u-v）/2，c=（u+v）/2
u、v同奇同偶，u＞v。
①当a为奇数时，u、v同奇，这时要想得到最简勾股数，应u、v互质，可以得到所有的最简勾股数；
②当a为双偶数时，u、v同偶，这时要想得到最简勾股数，应u、v其中一个是双偶数（4k），另一个是单偶数（4k+2），且u、v除了因子2以外，剩余的其它因子互质，可以得到所有的最简勾股数，（注：a为单偶数时不存在最简勾股数）。

费尔马1

蔡家雄 发表于 2019-3-16 14:51
蔡家雄勾股数通式

整数a>=3，

蔡老师您好：您的勾股数通式一个就是两个公式，更奇妙的是每个公式都是全部解，所以我提议把公式称为“蔡氏雌雄勾股数通式”，您看看行不行？

费尔马1

蔡家雄 发表于 2019-3-16 21:13

这样这个公式就完备了，建议把求本源勾股数的条件分别写上。

费尔马1

结论，若u、v一奇一偶且互质，则u∧n+v∧n与
u∧n-v∧n也互质，（n为正整数）

xxxxxxxx

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

费尔马1

蔡家雄 发表于 2019-3-17 17:46
无极（不分奇偶）生 太极（一分为二：同奇同偶）

无极不分奇偶，得到的是本源的及同源勾股数，即所有的勾股数。