不定方程x＾2+y＾=z＾2的解的一个性质

波斯猫猫

      在不定方程x＾2+y＾2=z＾2的非平凡解（正整数）中，若x是奇数，则x＾2=y+z。
      证：由毕达哥拉斯定理知该方程的通解为x=m＾2-n＾2，y=2mn, z=m＾2+n＾2（m、n∈N+, m＞n）。
令m-n=1,得m=n+1。
∴x=（m+n）（m-n）=2n+1，
  y=2n（n+1），
  z=2n＾2+2n+1。
从而，y+z=2n(n+1)+2n＾2+2n+1=4n＾2+4n+1=(2n+1)＾2=x＾2。
     注：由此可知，任何一个不小于3的奇数都可成为勾股数组（非平凡解）中的数，且较大两个数必为2k,2k+1（型）。

xfhaoym

也可以这样证明：
若a是质数，则a^2可分解成　a^2=a*a或　a^2*1
因为a*2=c^2-b^2=(c+b)(c-b).
若a*a=(c+b)(c-b).则有（c+b)=(c-b),这除非b=0,这是不可能的。
所以有a^2*1=(c+b)(c-b).在这里只能(c-b)=1.否则c<1,b<1.也是不可能的了。
于是：a是质数时，有a^2=c+b

luyuanhong

第 2 楼中的已知条件为 “ a 是质数” ，这时结论是成立的。

但第 1 楼中的已知条件为 “ x 是奇数” ，这时结论就不一定成立了。

例如： x=9 ，y=12 ，z=15 。x 是奇数，有 x^2+y^2=9^2+12^2=15^2=z^2 ，

但是不成立 x^2=81=12+15=y+z 。

波斯猫猫

谢谢指出不严谨！应加上“非平凡”三个字，即在不定方程x＾2+y＾2=z＾2的"非平凡"解（正整数）中，若x是奇数，则x＾2=y+z。

xfhaoym

这个x应当是质数！