哥德尔的盛名已成为数学发展的阻力

yangls728

哥德尔的盛名已成为数学发展的阻力
杨六省

（1）理性的怀疑批判，是科学进步的必要条件
哥德尔的不完全性定理自发表以来，获得了数学乃至整个学界的公认和普遍赞誉：称哥德尔为“20世纪最有意义的数学真理的发现者”；称他是两千五百年间，唯一有资格说“亚里士多德和我”的人；称他“横扫了《数学原理》这座堡垒，使之轰然倒塌变成了一堆瓦砾”；该定理也“被认为是对数学基础的根本贡献”。
我曾写过一篇质疑哥德尔不完全性定理的文章，也曾征求过几位中科院院士的意见。有一位院士在2012-07-18给我的回复中写道：“我觉得该文不宜发表。如果发表，只会对作者的学术声誉和发表此文的杂志的学术声誉产生不良影响。”（注：我必须承认，这位院士是善意的，回复的文字较长，那是需要花费时间的，对此我心存感激。）后来在北师大王世强教授的推荐下，这篇题名为“对哥德尔不完全性定理的质疑”的文章，发表在《前沿科学》2014年第1期上。
“1936年，格哈德•根茨恩提出了一种对算术一致性的证明，可是要做出证明，他需要采用一种有争议的方法，即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法，因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根茨恩所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。”照此观点，应该说，迄今还没有人能够证明算术的一致性。
我于2015年11月间，写成了一篇题名为“算术为什么是相容的”文章，同样征求了一些专家的意见。有一位专家在2016-01-04给我的回复中写道:“这个领域内的任何专家，尤其是权威专家，如果敢支持您的观点，绝对是拿一生的学术声誉做赌注，没人会这么干的。”
上述两个回复给我的感觉是，哥德尔的名气实在是太大了，以至神圣得不容怀疑！但同时我也在质疑：学术权威的名声是从哪里来的？是名声在先还是成果在先？是由于权威拥有真理（也并非全然如此）才造就其名声，还是由于其名声我们才相信其拥有真理？我现在质疑的是哥德尔定理，如果由于哥德尔名声显赫，所以其定理不容置疑，这岂不本末倒置？发表“异类”观点的文章无疑是要“承担风险”——俗气地说，如果这新观点错了，岂不毁坏了作者和刊物的学术声誉？但科学难道不就是在犯错、纠错和与错误的斗争中进展的？犯错，在科学发展进程中，难道不就是一种当然的常态吗？英国有一本哲学杂志叫做《心》，是一份历史悠久在世界上享有盛名的杂志。该杂志发表过一些关于意外考试悖论方面的文章，后面的文章总是对前面的文章有所否定，事实上，这个难题迄今仍没有公认的解决方案。我们难道由此便可以怀疑这本杂志的声誉吗？还是这本杂志，在作自我介绍时，她以自己的作者们曾为世界提供了许多新思想而感到自豪！然而，我们国内的某些有名的学术期刊，却以有某些国外著名学者在自己的刊物上发表文章而感到自豪。但值得怀疑的是，这些著名的国外学者是否真愿意把最好的成果投稿给你，还是只把一些二流成果或是把一些根本就算不上是报告科研成果的思想杂谈发给你以应付约稿？不看具体内容，仅凭这种自我介绍，已分档次高下了。不管是作者还是期刊，惧怕承担声誉风险的做法，难道就符合科学精神？科学精神应该是对真理的奋不顾身地追求，这种追求难道还应包含对荣誉的顾忌？这种顾忌难道也可以称作是奋不顾身？国内没有哪一本学术期刊不是在开首就期望文章具有创新性，但大凡都是叶公好龙，因为它们在审查看似离经叛道实则蕴含科学内涵的观点的文章时，往往会顾忌这种发表可能对期刊带来的声誉风险。高斯是欧洲数学之王，他发现了非欧几何，但由于深恐公布这种“异类”成果会引起愚人的叫嚣，从而毁掉其英名，所以始终不敢发表，这难道不是数学史上的一桩憾事？幸好，罗巴切夫斯基也发现了非欧几何，而且他勇敢地予以公布，尽管一开始遭到了非议。其实，历史是公正的。一位学术权威即使发表过错误的观点，但丁是丁卯是卯，科学史绝不会由于这种情况而诋毁其真正应该得到的声誉。大家都知道，早就流传着牛顿为大猫和小猫分别挖了大洞和小洞的笑话，即使这种笑话并非娱乐杜撰，世人也绝不会怀疑牛顿的智商，因为人非圣贤，再聪明的人，也难免会有糊涂一时的情况。话说回来，一位学术权威不论其声誉有多大，如果其理论是错误的，终究会被否定，因为真理是客观的，错误不可能永远被掩饰——试想，当时的教会势力有多么可怕，但地球绕着太阳转而不是相反，又有谁能够永远掩饰住后者的谬误而埋葬掉前者所拥有的真理呢？
（2）一位大教授对我的羞辱
大教授：“您对数理逻辑的谓词演算的基本知识几乎为零！……目前您所具有的数理逻辑知识，是无法读懂《元数学导论》的，更没有任何可能去质疑哥德尔定理。”（2014-06-23）
我曾就“对哥德尔不完全性定理的质疑”一文，征求过国内一所顶尖大学的一位数理逻辑教授（下文我们称他W教授）的意见，他一再要求我指出他的《数理逻辑》（第2版）关于哥德尔不完全性定理的证明有什么错误，不用说，当然是想将我一军。这位教授自以为讲授数理逻辑数十年，讲授哥德尔不完全性定理已经N遍，从而对自己书中证明的正确性信心满满。殊不知，就像视野有限的古代人，在自己狭小的活动范围内用相同的方法不断地证明地球是平的一样，这路数相同的验证，次数再多，因为没有质的不同，纵使一亿万次，也不能为其验证结论的正确性提供有效的保单。相反，思想唯有经过痛苦的反复碰壁之历练，才能够抵达深刻，并收获明察秋毫的能力。既然有了另一番的视野和洞见，就能够区分和判断在论证过程中先后出现的表面同一的符号（初始出现的那个，表示哥德尔公式），其实并不同一；但哥德尔视它们为同一，所有不同版本的证明也视它们为同一，这便是哥德尔不完全性定理证明的一切版本的共同错误所在。坚信历史迟早会重写。不要为一座建造在沙丘上的不合理的美丽城堡的消失而沮丧！谬误的减少，就是真理比例的增多，这难道还不值得欣慰吗？
W教授在2014-05-13对我写道：“我觉得针对哥德尔定理这样的数学定理，仅从哲学逻辑上进行质疑，似乎不太靠谱。”试问W教授，什么叫靠谱，什么又叫不靠谱？大凡创新的观点对于传统观念而言都是不靠谱的。如前面已经提到的，当人类处于认识地球的初期阶段，他们根据自己狭小活动范围所获得的经验，认为地球是平的，这被视为是靠谱的。而这时，如果有人提出说地球是球形的，那就是不靠谱的了。在这里，试图用所谓靠谱的经验来理解所谓不靠谱的新观点——地球是球形的，这才是不靠谱的哩；相反，这时如果有人设想，自己可以朝着一个方向无阻碍地走下去，并尝试用这种所谓不靠谱的假想来论证地球是球形的这种所谓不靠谱的观点，这才是真正靠谱的做法哩。然而，遗憾的是，我们的W教授并不懂得这个简单的科学逻辑，反而埋怨别人不靠谱哩。碰到问题不开动自己的脑筋，缺乏独立思考的能力和勇气，只知一味盲从和迷信权威的固有结论，这是奴性。一名教师再有知识，如果他不能教给（培养）学生胆识、见识和勇气，不能教给（培养）学生大气、豪气和霸气，那么，他不过是一名知识仓库的发放员而已。
我曾有言在先，只就我采用的版本讨论问题，因为哥德尔不完全性定理的证明有诸多版本，表示符号不一（审查证明，还得阅读证明部分之前的东西），如果对方都要求按照自己所熟悉的版本讨论问题，我如何能够吃消？更为重要的原因是，耗费大量时间阅读不同的版本，对我来说毫无价值，因为正像王浩所说：“时至今日，好像还没人用与Gödel原证法本质上不同的更为简洁的方法证明过Gödel定理”。尽管我不情愿采用其它版本讨论问题，但基于对方的一再要求（2014-05-14：“您说您的目的是‘证明哥德尔定理是不成立的’，包括了所有版本的证明都是无效的。既然这样，针对我的数理逻辑一书中的证明，应该也没有太大困难就能指出‘无效性’。所以我还是希望您对我的书中的证明提出具体意见。”2014-05-15：“请您也帮助我按照您的标准来审查一遍，很短，不超过两页，不需太多时间。这个定理相当于克林书（元数学导论）中的定理28。的确，各种版本大同小异。您觉得很难吗？即使很难，我也希望您帮助我审查这一段，因为质疑哥德尔定理，不是个小事情。”），我还是好意地在网上买了一本W教授所写的书，给他写了一个材料，指出其书中的证明错误（注：任何一个版本的哥德尔不完全性定理的证明，都存在由A推出非A的逻辑错误）。材料正准备发给W教授，没想到收到了他发给我的竟是一封羞辱邮件（2014-06-23）。我好生气，也很惊讶：羞辱对手，难道也是科学论争中取胜的武器？看来这位国内顶尖大学的数理逻辑教授，对形式逻辑教科书中所罗列的那些不正当的论辩手法的掌握倒还算娴熟，但失体啊！双方进行学术争论，正确的做法应是，如果你深信自己是正确的，就以无可辩驳的逻辑力量驳倒对方；如果并不自信，也不要试图用几句空话大话去吓唬对方，因为人们所知道的这方面的成语太多了，难以凑效；如果你心里已经明白，是自己错了，那么，W教授曾经奉劝我的话，我愿意原封不动的奉献出来，他说：“承认错误可能是痛苦的，但没有办法。错了就是错了。但也不是什么坏事。当做一次学习。”（2014-06-23）笔者所想提请注意的是，引号中的话没错，但奉劝别人认错的做法务必慎用，尤其当对方对自己的观点的正确性坚信不疑，而自己的说服和论辩能力又显得苍白无力时，更是如此。在这种情况下，倘若你一而再再而三地奉劝别人认错（例如，此前的还有，2014-05-16：“如果您已经认识到您的错误所在，望告知王世强先生。”笔者批：自作多情），你那在对方心目中原本所被期待的或良师或益友或可敬对手的美好形象，便荡然无存了，剩下的就只有讽刺和挖苦的恶意，甚或仅是由于缺乏洞见无力反驳无奈地发出的浅薄的强词，这就更是让人生厌了。
    W教授于2014-06-24对我的回复如下：
杨先生：
您把w叫做“终端符号”。其实它是160页12行上早就有的。只要它在这两页出现，不管出现在哪里，意义都很明确，没有任何变化，来源是清楚的。
您却说“应把它看作是一个没有来源的符号，一个与二元关系不相干的符号”，
您又问：“括号内的x2的前身是哪个公式的证明的哥德尔数呢？”
您还有说法：“要定义x2 ”。
您还说“请某老师将第161页第7行的推理步骤详细的写下来”。

所有您上面的这些说法，说明您对数理逻辑的谓词演算的基本知识几乎为零！
就拿最后一句话来说，任何懂得一点点谓词演算知识的人都知道这是再简单不过的推理，怎么会要别人把“推理步骤详细的写下来”？
我只能把我对您的建议再说一遍：请把命题演算、谓词演算、形式算术的基本内容认真读懂 。目前您所具有的数理逻辑知识，是无法读懂《元数学导论》的，更没有任何可能去质疑哥德尔定理。
我可以肯定地告诉您，您所作的质疑错了。承认错误可能是痛苦的，但没有办法。错了就是错了。但也不什么坏事。当做一次学习。
人一生路途遥远。任何人都必须脚踏实地，一步一步前行。出错、摔跤都不可怕。我很认可周总理的那句名言：“活到老，学到老，改造到老。”让我们共勉。

某某某

只需看一下上面这个回复的开头部分，我只想粗略地解释两点：第一点，我揭示哥德尔不完全性定理的证明是无效的，就是要揭示前后表面同一的表示符号，实则是不同一的（否则，必然导致循环定义），而这一点也就成为W教授作出结论“您对数理逻辑的谓词演算的基本知识几乎为零”的证据了。第二点，有些所谓“再简单不过的推理”，常常正是需要质疑的对象。要反驳对方，以对方一字不差的表述为依据（而不是由反驳者自己作出），这难道是不合理的吗？这一合理的要求，竟被W教授视为好像终于抓到了颇具分量的救命稻草，不，是反击武器——对方的基本知识已被证明几乎为零。接下来的说理还不容易吗？数理逻辑知识几乎为零的人，要质疑哥德尔不完全性定理，岂不是天方夜谭？有谁会相信呢？于是，W教授认为，驳倒对方了。笔者并不认可W教授作出结论“您对数理逻辑的谓词演算的基本知识几乎为零”，就是驳倒了笔者，但我对“基本知识几乎为零”这一结论尚能接受。一名只从事建筑基础（地基）专业的人，他的工作常常并不需要涉及上层建筑，犹如人们打算证明算术公理相容性，并不需要涉及微积分一样。笔者的数理逻辑知识的确十分贫乏，但这几乎为零却幸好还不等于零的知识，如果足以揭示哥德尔不完全性定理的谬误，那么，就我的研究目的而言，我的知识就是充分的。我丝毫没有羞愧和自卑的感觉，就像穷人拥有一张床和富人拥有一张床一样，同样满足，同样富有。谚语说得好，不缺为富。
W教授于2014-04-16就他的《数理逻辑》一书中的证明曾向我提出如下质疑：“问题5、初始公式依赖w的存在（w是初始公式的组成部分）。但W和w不依赖初始公式的存在，是在定理1提出之前就客观存在的了。哪里有循环定义？”读着这个质疑，我觉得有点儿好笑：自己看不出，就说不存在，唯心啊！循环定义的错误形形色色，岂会都像教科书上的定义说的那般直白显见？如果连对方在说些什么都无法理解，都没有理解，甚或是因为觉得不屑从而根本就不打算去理解，于是贸然质疑，岂不闹出贻笑大方？欧文．M．柯匹说，“定义循环有时甚至会使老练的科学家陷入圈套”，其言极是！但没想到的是，情况竟会糟到极点——当今全世界的数学家都陷入哥德尔的圈套了，包括哥德尔本人，尽管圈套是他自己所设，但他并不自知其错。有学者说得好，“应该记住这一点，一个很长的讨论是谬误的最有效的面纱。当诡辩以浓缩的形式呈现在我们面前时，像毒药一样，它立刻会被防备和厌恶。一个谬误若用几句话赤裸裸地加以陈述，它不会欺骗一个小孩；若以四开本的书卷加以‘稀释’，则它可能会蒙骗半个世界。”不，哥德尔不完全性定理蒙骗的不是半个世界，而是整个世界！而且长达八十余载！
W教授对我的质疑，使我想起“三季人”的故事。那个“三季人”呀，不知有冬季，因而否认有四季，孔子也怕他，无奈曰：难以理喻啊！大凡圣贤，悟道同一。庄子也说，“夏虫不可语以冰”，于是，我决定不再与W教授争辩了（发材料之事也作罢，现仍存电脑）。
（3）向世界数学界诘问
前些日子，我给中科院的一个交流平台“科学智慧火花”提交了一篇短文“算术为什么是相容的”（还未见回复）。我有意把小标题“引言”换成了刺眼的“向世界数学界诘问”，也算是向学界下个战书吧（无需涉及哥德尔证明的艰深细节），其中挑战性的文字如下：
“……基本原理是科学研究的伟大指南。据此，一个合理的质疑是：不管A是什么，也不管所给条件是否矛盾，在推理务必有效（不得出现歧义谬误，不得既应用A又应用与 A相矛盾的东西，等等）的情况下，由A推出¬ A是可能的吗？如果是可能的，这岂不与同一律和矛盾律相冲突吗？难道有效推理的概念可以与形式逻辑的基本规律不协调吗？如果是不可能的，但哥德尔在他的不完全性定理的证明中，就有形如由A到 ¬ A的推理，这难道不可以进行质疑吗？人们能够使用自然语言学习掌握和运用自然数算术，如果自然数算术是相容的，但却不能够用自然语言对这种相容性进行证明（表述理由），难道一个系统与其本质属性可以是不一致的吗？……”
像上面说过的，基本原理是科学研究的伟大指南，但哥德尔的名声是如此之大，以致人们可以弃科学基本原理于不顾，而宁愿相信哥德尔的盛名，这样，哥德尔的盛名不就成了数学发展的阻力？可不是么，有了哥德尔的定论（用“元数学”证明算术公理相容性之不可能），再加上其所拥有的无以复加的盛名光环，谁还敢再去涉足算术相容性的证明？那不是在用自己的学术声誉做赌注吗？不，应该说，那不是明知注定自毁声誉而为之吗？
（4）关于版本的选择
W教授曾对我表示，应该以哥德尔的原证明讨论问题，此说法并非没有道理（2014-05-13：“要质疑一个定理，就必须针对原证明来做。”）。我事先也想过这个问题，之所以没有这样做，原因是，我有自己的选择版本的标准：证明方法明快；作者务必是国际数理逻辑领域公认的权威名家；版本为经典名著，因而读者极容易找到。W教授的要求如果是务必做到的，他岂不作茧自缚自陷矛盾：自己为什么不以哥德尔的原证法进行教学而采用自己的证法呢？是不是可以说，几十年来，W教授从来就没有向学生讲授过哥德尔不完全性定理？因为他讲授的并不是哥德尔不完全性定理的原证明。试问W教授：今人用纸，何须蔡伦再世？同样的道理，难道我们应该要求所有的中学数学教师都用几千年前的原证明来讲授勾股定理吗？否则就不算勾股定理的证明？迂腐啊！一个命题的不同证明，不管新与旧，难道就表示它们不等价同一吗？但值得说明的是，严格说来，我上面所进行类比的两个东西，是有着质的区别的。勾股定理是定理，但所谓的哥德尔不完全性定理，实则并不是定理；关于前者，人们所给出的是证明，但后者则否，给出的是无效论证。事实上，关于后者，就像命题“地球是平的”一样，根本就不存在关于它的证明。至于说到关于哥德尔语句（公式）的真的概念，有学者解释道，这里的真概念，不同于一般的真概念，其实，这只是先入为主地在为一个虚假概念量身定制牵强附会的说辞罢了。

附录1：
数学的三次危机都与悖论有关，哥德尔不完全性定理的证明也与悖论有关，只是人们不承认哥德尔的证明中包含悖论罢了。其实这种否定性的说法是错误的，因为在哥德尔的证明中，包含有形如由A到 ¬ A的推理，这就是悖论。
关于悖论问题，哥德尔说，这个问题不解决，形式逻辑就会破产，整个人类思维的大厦就会崩溃。由此足见悖论问题的深刻性和严重性。
我给悖论概念（指狭义的，即学术型的）下的定义是：对于一个概念、命题或语句等，如果通过一个看似合理的推理：①由A推出了¬ A（或由¬ A推出了A）；② 由B 既推出了A 又推出了¬ A；③推出了一个与客观事实相矛盾的结论，则称这里的A & ¬ A 及与客观事实相矛盾的结论为悖论。所谓消解悖论，就是揭示推理过程的无效性。
国内学者在给悖论概念下定义时，都有诸如“正确有效的逻辑推导”之类的表述。但这样的悖论定义必然面临如下质疑：既然推理是有效的，为什么会推出自相矛盾的命题呢？悖论到底是什么性质的矛盾？它是逻辑矛盾吗？于是，有些学者提出了如下观点：“悖论是一种特殊的逻辑矛盾”。这样的回答特别让人感到别扭，是就是是，非就是非，何必答非所问？犹如有人问你，“你是中国人还是外国人？”你回答说，“我是特殊的中国人。”试问，难道特殊的中国人就不是中国人吗？再说，又有哪一个中国人不是特殊的中国人而是一般的中国人呢？这种与逻辑常识极不协调的说法，不过是对错误的悖论定义（指推理是正确有效的）无法自圆其说的一块遮羞布罢了。它反映着一种矛盾的心理：既无法否认悖论是逻辑矛盾，却又不愿意放弃“通过有效的逻辑推导”的错误观点，然而真相是，悖论是不合理推理的产物。
现在回到哥德尔不完全性定理的证明是否正确的问题。其实人们完全可以抛开具体的证明细节，只讨论一个原则性的逻辑问题，这就是：由A推出 ¬ A是可能的吗？如果你认为不可能，你就有理由认定哥德尔不完全性定理的证明过程必包含错误，这样的证明必不成立，尽管你也许看不懂这个证明，找不出究竟错在哪里，但你依据的是基本原理，有保障，不会错！

附录2：
哲理故事：三季人，让人多活几年。
分享| 2013-11-12 15:48假装1嗢Q | 浏览 3432 次
2013-11-12 16:35
提问者采纳
有一天，孔子的一个学生在门外扫地，来了一个客人问他：“你是谁呀？” 他很自豪的说：“我是孔子的学生！” 客人就说：“那太好，我能不能请教你一个问题？” 学生很高兴的说：“可以啊！”，他心想：“你大概要出什么奇怪的问题吧？” 客人问：“一年到底有几季呀？” 学生心想，这种问题还要问吗？于是便答道：“春、夏、秋、冬四季。” 客人摇头说：“不对，一年只有三季。” “哎，你搞错了，四季！” “三季！” 最后，两人争执不下，就决定打赌：如果是四季，客人就向学生磕三个头。如果是三季，学生向客人磕三个头。 孔子的学生心想自己这次赢定了，于是准备带客人去见老师孔子。 正巧，这时孔子从屋里走出来，学生上前问道：“老师，一年有几季啊？” 孔子看了一眼客人，说：“一年有三季。” 这个学生快吓晕了，可是他不敢马上问。 客人马上说：“磕头磕头！” 学生没办法，只好乖乖地磕了三个头。 客人走了以后，学生迫不及待地问孔子：“老师，一年明明有四季，你怎么说有三季呢？” 孔子说：“你没看到刚才那个人全身都是绿色吗？他是蚂蚱，蚂蚱是春天生，秋天就死了，他从来没有见过冬天，你讲三季，他会满意，你讲四季讲到晚上都讲不通。你吃亏，磕三个头，无所谓。 很多朋友听了以后，都变得很开心，都会说：以前碰到那些不讲理的人，都会生气，现在不会了，心想那是“三季人”，就不往心里去了。 故事告诉我们：“不争就是慈悲，不辨就是智慧，不闻就是清净，不看就是自在，原谅就是解脱，知足就是放下。” 后来，读到《庄子》，才明白“夏虫不可语以冰”。你跟夏天的虫子讲什么是冰？那就是你糊涂了。

elim

楼主说不出自己对在哪里，人家错在哪里。没有看头。

yangls728

elim 发表于 2016-6-22 15:13
楼主说不出自己对在哪里，人家错在哪里。没有看头。

没有公布这位教授错在哪里，你当然看不出人家错在哪里；没有看过我的发表在前沿科学上的文章，你当然不知道我对在哪里。这怪谁？

elim

怪哥德尔名气太大？呵呵

yangls728

我将把那位教授的无效论证公布出来，你看得懂？