对陈陶先生《四色猜想与五构形（最后投稿）》一文的看法

雷明85639720

对陈陶先生《四色猜想与五构形（最后投稿）》一文的看法
雷  明
（二○一六年六月二十五日）

1、陈先生说：“1879年，肯普发表关于四色猜想的论文被赫伍德指出有无法弥补的漏洞，但他的研究思想方法却闪耀着智慧的光辉，在‘四色’历史长河中影响深远。”这里所说的“无法弥补的漏洞”只是在当时的认识，从现在看，这个漏洞是可以弥补的。仍然是用坎泊的颜色交换技术，仍是在赫渥特原着色的基础上，可以对这个大家叫做“反例图”的赫渥特图进行4—着色。很多的爱好者都能做到这一点，当然也包括笔者在内。该图是可4—着色的，并不是什么反例。
2、陈先生对五构形是这样说的，“定义：称每一国的邻国数都不小于五（含五）的正规地图为五构形。”并说“在五构形中，若Q国被m（m≥5）个邻国围成圈H，则包围圈H的‘S’中的国家数r≥m，且Q的邻国的每一国至少与S中的两国相邻（否则，Q的邻国中必有邻国数小于五的国家）。与此有关，所设置的公理（大家公认或可接受的简明的道理）考虑到了关键部位能着色也能换色。”“公理：欲至多用四种色使五构形的相邻国着不同色，应把先确定的‘中心国’Q（Q与A相邻，A有五个邻国）看成由2t（t≥2。若Q的邻国数是奇数，总可将Q的邻国中与A相邻的两国视为一国）个邻国形成的圈H包围，那就可用两种色对H相间着色，且仅当需要换色时才有可能用第三种色。把这种关于中心国Q的邻国着色的模式记为H-色码排序，简称为（着色模式）H（公理仅规范了中心国的邻国着色，其它圈上国家的着色未必符合此规律。H用色还具有简约性，优化了后继着色环境。1、2、3、4为色码，不会混淆）。”
我对这里的“公理”的理解是，中心国的邻国数是偶数时，这个邻国圈H用两种颜色就够了，这是正确的。但后面的“且仅当需要换色时才有可能用第三种色。”就不明白是说什么了。前面并没有说在什么情况下要进行换色，为什么要换色，怎么么换色，而这里突然的就出来了“换色”，搞得读者真是莫明其妙。陈先生还在括号中说，“若Q的邻国数是奇数，总可将Q的邻国中与A相邻的两国视为一国”，可为什么要这么做，也没有说清楚。若中心国的邻国数是奇数，增加一种颜色，不也可以给H圈着色吗，为什么还要把中心国的两个相邻的邻国视为一个国家而着同一颜色呢。为什么中心国的邻国数一定要凑成偶数呢。所有这些问题都没有提前交待清楚，就突然的出来了“两国视为一国”，“换色”等等是不合适的。不能因为“火花”的编辑对字数有要求，你就连这起码的应交待的问题也都省略了吗（以前陈先生曾经说过，由于编辑对字数要求很严格，所以他就只得一再的压缩了，已经不能再压了）。
3、陈先生的五构形定理是，“五构形定理：对任意五构形四色猜想成立。”“证：在类似图二1的五构形中，中心国‘2’的邻国数能是数列6、7、8、…、n、…☆中的项；‘2’的邻国外圈的国家数也能是☆中的项，第四圈只有一国，就得到国家数是数列14,16,18, …, 2n , …中的项；将得到的国家数相对应的图中的‘2’恰当地一分为二（因☆中的项都不小于六，分成的两国能满足五构形），又得到国家数是数列15,17,19，…，2n+1,…中的项。将12与后两个数列合并就得到了国家数的集合W=｛12,14,15,16,…,n,…｝（这里仅确定了五构形的国家数，并不表明结构一定如此，即使国家数相同，结构也未必唯一。如n=14的情形）。易验证13∉W。”
这个“证明”中，空心五角星不知代表什么意思，又是这个空心五角星中的“项都不小于十六”，又是“将12与后两个数列合并就得到了国家数的集合W=｛12,14,15,16,…,n,…｝”，为什么要把12与这两个数列合并呢，为什么不把13也合并起来呢。为什么13又不属于W呢，难道把你的图一中的中心国Q“恰当地一分为二”后，不就是一个有13个国家的地图吗。你括号中的“这里仅确定了五构形的国家数，并不表明结构一定如此，即使国家数相同，结构也未必唯一。如n=14的情形”，不清楚的说明了地图并不可能是你画的那么规则的图吗，难道国家数大于等于12（但不包括13）的地图都符合你定义的五构形吗，证明了没有呢。
4、“若国家数n=12，则每一国的邻国数都是五。着色如图一（其它结构可转化为此），且Q-4，即Q着色（是）4，四色猜想成立（可按下面⑴的方法处理）。
“⑴当n=14时，如图二，每圈的国家数由内到外分别依次为1、6、6、1，1、5、6、2或1、5、‘7’、1。取Q为中心，先将Q的邻国中A（有五个邻国）和B视为国E，根据公理，构建Q的模式H-1212，不妨图二1中E-1，图二2、3中E-2；其次，Q-4，至多用四种色沿着H向外围的国家逐个着色。四色猜想成立。把图二中B换成色3，其它国家着色不变，则Q的邻国着色符合H-12123，且四色猜想成立（基于前述，如图二1，也可视有六个邻国的国‘2’为中心，相当于构建了H-434343，换色后为H-434341〔将Q下方着色是1和3的两国视为国E，E-3〕。仔细察看图二2、3，换色前后的H与此皆对应同型）。”
明明图二1从内到外，各圈的国家数分别是1、6、6、1，先生却为什么硬要说成是“1、6、6、1，1、5、6、2或1、5、‘7’、1”呢；这里又为什么要把“Q的邻国中A（有五个邻国）和B视为国E”呢。你已经构建了“Q的模式H-1212”，为什么不给Q着3，而要给Q着4 呢，因为你外边的国家还没有着色嘛，就应该先用3了。你说“至多用四种色沿着H向外围的国家逐个着色。四色猜想成立。”这样一个简单的具体的图，不用进行你上面这些操作也是可以用四种颜色约该图着色的，若是一个很复杂的图，你能保证四种颜色够用吗。这个证明是不充分的。尽管如此，你还没有说明，视为同一个国家E的A和B分别各着什么颜色呢。这里也没有说明当n＝12时，是如何按n＝14的这个方法处理的。我相信，你说的可能是有你的道理的，但你不说出来，读者是不能乱猜的呀，这就是你文章的缺陷，不严谨，逻辑性也不强。
5、“⑵假设14≤n≤k，即国家数不超过k时，都是按⑴的方法和步骤操作，结果（含换色前〔国家数n满足13≤n≤k－i，1≤i≤k－13〕和换色后）对确定的中心国Q的邻国着色不仅符合公理的着色模式H，且四色猜想都成立。”
以上的证明过程中根本就没有发现在什么地方有“换色”的事，这里突然又出来了一个“换色前”和“换色后”不知是为什么。并且也没有看到是如何证明的，就直接得出了“对确定的中心国Q的邻国着色不仅符合公理的着色模式H，且四色猜想都成立。”也是不能令读者理解的。
6、“那么，当n=k+1时，必存在两邻国A和Q，使A的邻国数是五、Q的邻国数不小于五，且A和Q及其邻国的结构关系如图三、图四。取Q为中心，①，若Q的邻国数是不小于五的奇数，如图三，将B、A、D视为国E（根据归纳假设，这样处理可能产生邻国数小于五的国家，是允许的。以下同此），则国家数是k–1，且Q的邻国数是不小于四的偶数。根据公理，构建Q的模式H-12…12（型），不妨E-1。根据归纳假设（换色前），四色猜想成立，且C-2或3或4（易逐一验证），不妨C-3，也不妨Q-3。将A换成色4，其它国家着色不变，则Q的邻国着色符合H-12…124（实则应为H—21…214——笔者注），且四色猜想成立（国家数是k+1）。②，若Q的邻国数是不小于六的偶数，如图四，将B、A、F视为国E，则国家数是k－1，且Q的邻国数是不小于四的偶数。根据公理，构建Q的模式H-12…12（型），不妨E-2。根据归纳假设（换色前），四色猜想成立，且C与D的着色组合是1、3或1、4或3、4（易逐一验证），不妨C-3、D-4，也不妨Q-3。将A换成色1，其它国家着色不变，则Q的邻国着色符合H-12…1212，且四色猜想成立（国家数是k+1）。即是说，当n＝k+1时，四色猜想也成立。证毕。”
现在我要问一下，你的这个图三，图四若画完整时，是不是与图一，图二相同呢，也是四层，最外一层只有一个国家呢。你在后面的证明中又用了归纳法，前后一共用了两次，可以不可以理解你的“第二归纳法”就是在证明某命题时，用了两次归纳法呢。
7、评论：
①  地图的着色中是包括给无限面的着色的
四色猜测说的是把平面分成若干个部分，那么这就一定包括最外面的无限面；而且平面与球面的亏格都是0，是可以相互转化的，球面上的地图与平面上的地图是相同的，即把同一个地图划在平面上或划在球面上，国家数应是相同的，是区分不了那个是无限面的，所以平面地图中的国家数就应该包括无限面；从拓扑学上看，球面地图中的任何一个国家都可以转化成平面地图中的无限面，这样看来，平面地图中的国家数就更应该包括无限面了。在对地图着色时，一定不能忘记给无限面的着色。但陈先生在证明中却一直没有对任何图中的无限面着色，这是不应该的。
②  陈先生的“五构形“的定义是不太严密的
你可以说，那些图的无限面都是一个三角形面，只与三个国家相邻，其他三国只能占用三种颜色，该国（无限面）一定有一种颜色可着，证明时可以忽略它。但这不仅仅是你没有进行说明的问题，还牵连到你的“五构形”的定义问题。你的定义是：“定义：称每一国的邻国数都不小于五（含五）的正规地图为五构形。”可你的图中却明明有一个国家的邻国数是3而小于5，这说明了你的定义不够严谨。你如果说你认为那个无限面就不是一个国家，那么你这个地图将是什么地图呢。你也可能说那是“海洋”，但在研究四色问题时“海洋”也应看作一个国家呀。虽然“海洋”国最后的着色是单独一色，但这是在着色完成后改动的，在改动之前，整个地图，包括“海洋”国只是用了四种颜色的。因为四色问题是不考虑哪个区域是水还是陆地的，也不考虑它是高山还是平原的，统统都是作为一个区域对待。
③  符合陈先生的“五构形”定义的图只有一个
能符合你的“五构形”定义的图看来只能有一个，即是正十二面体所对应的图，该图（正十二面体）包括无限面共有十二个面，每一个面均与五个面相邻。在你的定义内只有这一个图，其他图都不符合你的定义的。
④  解决任何问题的办法都是多种多样的
任何问题的解决办法都是多种多样的，不可能只有一种办法。四色问题也是一样，解决的办法有多种，你这可以算作其中的一种，是属于着色法范围的一种方法。你的办法是否正确，我一下子还得不出结论。但根据你在后面的“四  证明四色猜想”中说，前人已证明了22国以下的地图四色猜测都是成立的，你已证明了国家数大于等于14的“五构形”四色猜测也都是成立的，且你的五构形中已包括了5—构形在内，这样加上坎泊早已证明了的4—轮构形四色猜测一定是成立的结论，应该说你后面的“四  证明四色猜想”一节就可以省略不要了，也能说明四色猜测就是正确的。但是你的五构形能否代替5—轮构形，我同样一下子还不能确定。
⑤   你的文章还应该进一步修改
至于你证明的前一部分，我已经提出了那么多的问题，如果把这些问题都说明白了，我认为这也是一个证明四色猜测的办法，但不是唯一的办法。
⑥   写文章的目的是希望有更多的读者，扩大影响力
一个人写文章的目的，是要叫读者能看懂，看明白，否则，写文章就失去了意义，失去了影响力，不如不写，还省得费时费功。如果是为了满足某编辑的字数的要求，把该说明白的地方都一概的略去，我宁肯不在他那里刊登，也不能省略。否则登出的文章也是起不到作用的，会影响你的文章的影响力的。没有读者，你的理论再好，再正确，也是不会得到大家的认可的。

雷  明
二○一六年六月二十五日于长安

注：此文已于二○一六年六月二十七日在〈中国博士网〉上发表过，网址是：

波斯猫猫

前1--6条还比较理性，但只有把这些搞清楚了（连☆就是怪物，不知还有多少怪物？）才能理解。鉴于此，第7条就只能是梦里乾坤大。因害怕，不再复。

雷明85639720

至少我指出你前6条错误是对的，我也没有胡说吧。至与第7条，你可以不同意，我们可以各保留各的意见吧。