为什么赫渥特与米勒都陷入了无限的循环之中，不能自拔

雷明85639720

为什么赫渥特与米勒都陷入了无限的循环之中，不能自拔
雷  明
（二○一六年七月十七日）

我们已多次说过赫渥特与米勒都是陷入了无限循环的陷阱中了，现在就来分析一下，他们是怎么掉进去的。
1、赫渥特是陷入了H—构形与半H—构形（可以有先后的交换两同色B的链，同进移去两个同色的构形）的可相互转化的陷阱中去了：
我们用赫渥特简化后的九点形构形来代替赫渥特图。如图1，a。赫渥特的目的是想同时移去两个同色B的，当然他一定是要进行两次关于B的链的交换。
当赫渥特从顶点1进行了B—D链的交换后(如图1，b)，本来图就变成了一个半H—构形了（如图1，c），是可以同时移去两个同色D给待着色顶点V着上，如图1,d。但是赫渥特没有这样做，而是想移去两个同色B，又是从顶点3进行了B—C链的交换，但在进行了第一步交换后，从顶点3 到顶点5的B—C链已变成了连通的（如图1，b,图1，c和图2，b），所以他进行第二步交换后仍是不能同时移去两个同色B的。但我们可以看到，他进行了第二次交换后的图已变成一个半H—构形的图了，是可以同时移去两个同色D的。
但是赫渥特仍是坚持想移去两个同色的，所以他还可能再对图2，d的半H—构形进行两次关于D的链的交换。如果这时他从顶点4进行了A—D的交换，再从顶点1或顶点3进行D—C链的交换，就可以给待着色顶点着上D或C。

    但不知为什么他没有这么做。我们假设，赫渥特当时是与我们上面说的相反，不是先从顶点4，而是先从顶点1进行交换（如图3，b），那么交换的结果仍是一个H—构形（如图3,d），图3,d与图1，a是完全相同的。为什么会出现这样的循环现象呢，难道这么简单的问题，赫渥特与坎泊都看不出来吗。我认为：一是他们那时用的是地图，是给地图的面上去着色，这本身就比对图的顶点着色要难以进行；二是再加上赫渥特的图需要着色的单元（面或顶点）在二十五个之多，而我们用赫渥特图的简化图则只有九个着色单元。所以他们就很难看到我们在图1中的那种方法，更难以看到经过多次交换以后的图2，d（或图3，a）是能同时移去两个同色的图。以致赫渥特陷入了H—构形与半H—构形的相互转化的无限循环之中了。

    总之关键的问题还是赫渥特和坎泊都没有看到，从顶点1交换了B—D链后，便产生了从顶点3到顶点5的B—C连通链，再加上他们都想同时移去两个同色B，而从顶点3再交换了不能空出颜色的B—C链，这是他们不能对赫渥特图4—着色的最根本的原因。这一原因的产生又是源于他们用的是对地图的面的着色，而不是对地图的对偶图的顶点的着色。如果他们那时候用上了对地图的对偶图的顶点的着色方法，就不会出现这样的错误，四色猜测的证明也就早都已经被解决了。

    赫渥特图的正确解法是：由于图中有环形的C—D链，把A—B链分隔成互不连接的两部分，交换任一部分A—B链都可以使原来的两条连通链A—C和A—D断开，使构形转化为坎泊构形而得解。
2、米勒是陷入了H—构形与M—构形的可相互转化的陷阱中去了：
米勒是企图通过连续的赫渥特颠倒来达到解决四色问题的目的，所以他在解决任何构形时，都企图用颠倒的方法。他构造的米勒图如图4，a。从顶点1进行B—D链的第一次颠倒后，是一个DCD型的H—构形，有过5—轮轮沿顶点2和3的环形链A—B，如图4，b。

再从顶点4进行D—A链的第二次颠倒后，又是一个ABA型的M—构形，其中有过5—轮轮沿顶点2，3，4三个顶点的环形链，但该链并没完部通过两连通链B—C和B—D的所有相交顶点，与图4，a有同样的特征；
继续从顶点2进行A—C链的第三次颠倒后，又是一个CDC型的H—构形，其中有通过5—轮轮沿顶点3和4的A—B环形链，与图4，b构形的特征相同；
再继续进行同方向的颠倒，构形都是在M—构形与H—构形之间转化，是一个无穷的循环过程。米勒就是陷入了这样的无穷转化的循环之中了，不能自拔。
但米勒图能不能4—着色呢，能。该图（图4，a或图5，a）中虽有环形的C—D链，但却没有通过5—轮轮沿的顶点4和5，也不能交换任一支A—B链使构形转型，而只能交换任一条C—D链，其使图变成没有交叉链的坎泊构形而得解（如图5，b）。图5，b是一个可以同时去两个同色B的BAB型构形，交换两次关于两个同色B的链B—C和B—D就可移去两个同色B，把B给待着色顶点V着上，问题就解决了。
3、如何判断非H—构形，H—构形和M—构形：
这里所说的非H—构形仍是指有两条连通且相交了两次以上的构形。在BAB型的非H—构形中，环形链A—B链是含有5—轮的三个顶点（1，2和3）和两链的所有相交顶点，如图6，a；在H—构形中，环形链C—D是含有5—轮的两个顶点（4和5），但并不含有两链的任何相交顶点，如图6，b（图中的加大了的顶点是两条相交连通链的相交顶点）。


而在M—构形中，环形的A—B链也不含两链的全部相交顶点，如图7，a中环形的A—B链就只含两相交链的相交顶点2，而不含两相交链的相交顶点8，环形的C—D 链也不含5—轮轮沿上的顶点，如图7。如果图中没有任何环形链，则是半H—构形或是Z—L构形，即张—雷构形。



雷  明
二○一六年七月十七日于长安

注：此文已于二○一六年七月十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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