探究四色猜想

波斯猫猫

                                 投稿时间：2016-08-01 15:01 投稿人：陈陶
                                          探究四色猜想
  一 四色猜想
   每一幅正规地图，至多需要四种色，能使相邻（有共同边界）的国家着不同色。限制是：每个国家必须连成一片；两个国家的共同边界必须是条线，而不能是一点或一些孤立的点；没有一个国家包围其它国家，也没有三个以上的国家相遇一点。
   二 背景简介
   1976年，美国专家借助计算机证明了四色猜想。但它从1852年问世至今，用纯数学方法证明尚未成功。它与费马大定理和哥德巴赫猜想成为了世界近代三大数学难题。
   三 定理 引理
   肯普定理：在每一幅正规地图中，至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每一国都有六个或更多个邻国的正规地图。
   德·摩根定理：不可能有五国处于这样的位置，其中每一国都和其余四国相邻。
   定义1：称每一国的邻国数都不小于五（含五）的正规地图为五构形。
   引理1：五构形的国家数集W=｛12,14,15,16,…,n,…｝。
   证：在类似图三1的五构形中，国‘2’的邻国数能是数列6，7，8，…，n，…☆中的项；‘2’的邻国外圈（第三圈）的国家数也能是☆中的项，第四圈只有一国，就得到国家数是数列14,16,18,…,2n,…中的项；将得到的国家数相对应的图中的‘2’恰当地一分为二（因☆中的项都不小于六，可保证分成的两国每一国的邻国数都不小于五），又得到了国家数是数列15,17,19，…，2n+1,…中的项。将12与后两个数列合并就得到了国家数的集合W=｛12,14,15,16,…,n,…｝。易验证12∈W。
   由肯普定理知，每一个五构形至少有一国有五个邻国。如果国A有五个邻国，无论这五个邻国是环形邻接或是半环形邻接，显然，在这五个邻国中至少有一个邻国Q，使得A与Q有两个公共邻国（参考图一）。
   定义2：对五构形，在一国的邻国中，若没有两国与这一国形成的“圈”将其余国家分成两部分，则称这一国为可心国（可视为中心国）。否则称其为不可心国（参考图二。不可心国不能视为中心国，否则，有不适合引理2中换色前的模式或有A的邻国无法换色的可能）。由此，显然有：
   引理2：一对相邻的有两个公共邻国的A（有五个邻国）与Q，若A与Q都是可心国，且Q（视为中心国）是由不小于四的偶数个国家形成的“圈”H包围（若H中的国家数是奇数，总可将相邻的两国视为一国），则可用两种色对H相间着色（仅当需要换色时才可能用第三种色）。
   把引理2的中心国Q的邻国着色的模式记为H-色码排序，简称为模式H（H仅规范了中心国Q的邻国着色，其它圈上国家的着色未必符合此规律。1、2、3、4为色码，不会混淆）。
   五构形定理：对任意五构形四色猜想成立。
   分析：①在平面上，因为以一条简单闭曲线为边界围成的有限区域可表示一个国家，由有限个彼此相邻的国家构成的五构形可视为一国E（这些国家由一条简单闭曲线为边界包围），所以，由无限个彼此相邻的国家构成的五构形就自然而合理地看成是沿这一国“E”的边界向外拓展而成。②引理1的证明过程，不仅给出了五构形国家数的集合W，还给出了它的基本结构→1或2、n、n、1（n≥6，由内到外）。除12外，W的每一个值所对应的五构形无论有多少个不同的结构，每个结构也无论是何等的千奇万状（非基本结构），都可视为由基本结构演变而成，并满足引理3：在五构形中，不仅至少存在一对相邻的有两个公共邻国的A（有五个邻国）与Q，而且A与Q都是可心国。对于A与Q都是可心国，事实上，五构形可分为基本结构（如图三1）、非基本结构但不含不可心国（如图三2、3）、非基本结构且含不可心国（如在图一2外面加两圈，每圈的国家数由内到外依次是3、6、3、6、3，第三圈上的三个国家每一国都是不可心国）三种情形。显然，前两种情形存在A与Q都是可心国。对含有不可心国的第三种情形，若有一个五构形，在每一对相邻的有两个公共邻国的Ai（有五个邻国）与Qi（1≤i≤t，t≥1）中,都各有Ai或Qi是不可心国。据此，对Ai，在Ai中取一国Aj，根据定义2，在Aj的邻国中存在两国R和S（R或S可以是Q），使得R、S与Aj三国形成的圈Tj将其余国家分成两部分（注意：取Aj时，总可以使得Tj的内部〔有限部分〕不再含有不可心国）。因每一国的邻国数都不小于五，则Tj的内部与外部各不止含有三个国家（参考上述图一2的说明）。根据①，Tj内部的国家数是有限的，且含有邻国数是五的国家。否则，若Tj内部的每一国的邻国数都不小于六，这可通过实际构造来实现。但容易看到此构造过程是永无终止的，构造出的国家数是无限的（从至少有六个邻国的外部边界开始〔参考图三1〕、或者从由三个国家形成圈的内部边界开始〔参考图一2〕，逐步构造出邻国数都不小于六的国家，而且很快就会发现这不是可以经过有限的步骤能办到的），这与Tj内部的国家数是有限的自相矛盾。这就是说，对五构形的第三种情形，无论怎样，至少在Tj的内部存在一对相邻的有两个公共邻国的A（有五个邻国）与Q，且A与Q都是可心国。对Qi，类似地也可得出这个结论。
   证：当n=12时，每一国的邻国数都是五。着色如图一所示（两个图本质相同），其中Q-4，即Q着色（是）4。四色猜想成立。
   根据引理3，在国家数n≥14的五构形中，取一对相邻的有两个公共邻国的A（有五个邻国）与Q，且A与Q都是可心国。
   ⑴当n=14时，如图三，每圈的国家数由内到外依次为1、6、6、1，1、5、6、2或1、5、‘7’、1。取Q为中心，根据引理2，先将Q的邻国中A（有五个邻国）和B视为国E（经此变化后不一定还是五构形），并构建Q的模式H-1212，不妨图三1中E-1，图三2、3中E-2；其次，Q-4，至多用四种色沿着H向外部的国家逐个着色。四色猜想成立。把图三中B换成色3，其它国家着色不变，则Q的邻国着色符合H-12123。四色猜想成立（基于前述，如图三1，也可视有六个邻国的国‘2’为中心，相当于构建了H-434343，换色后为H-434341〔将Q下方着色是1和3的两国视为国E，E-3〕。仔细察看图三2、3，存在换色前后的H与此皆对应同型）。
   ⑵假设14≤n≤k时，都是按⑴的方法和步骤操作，结果（含换色前〔H中的国家数是偶数或被看成偶数，且国家数n满足13≤n≤k－i，1≤i≤k－13〕和换色后）对确定的中心国Q的邻国着色不仅符合引理2的模式H，且四色猜想都成立。
   那么，当n=k+1时，取Q为中心，A和Q及其邻国的结构关系如图四、图五。①若Q的邻国数是不小于五的奇数，如图四，将B、A、D视为国E（根据归纳假设〔…按⑴…〕，经此变化后不一定还是五构形，是允许的。下同此），则国家数是k–1，且Q的邻国数是不小于四的偶数。根据引理2，构建Q的模式H-12…12（型），不妨E-1。根据归纳假设（换色前。下同此），四色猜想成立，且C-2或3或4（易逐一验证），不妨C-3，也不妨Q-3。将A换成色4，其它国家着色不变，则Q的邻国着色符合H-12…124，且四色猜想成立。②若Q的邻国数是不小于六的偶数，如图五，将B、A、F视为国E，则国家数是k－1，且Q的邻国数是不小于四的偶数。根据引理2，构建Q的模式H-12…12（型），不妨E-2。根据归纳假设，四色猜想成立，且C与D的着色组合是1、3或1、4或3、4（易逐一验证），不妨C-3、D-4，也不妨Q-3。将A换成色1，其它国家着色不变，则Q的邻国着色符合H-12…1212，且四色猜想也成立。证毕。
   四 证明四色猜想P[
   证：众所周知，对每一幅正规地图，要使相邻的国家着不同色，四种色是必需的。
   ⑴当1≤n≤14时，易证明四色猜想成立（略。前人至少对n≤22已证）。
   ⑵假设14≤n≤k时，四色猜想都成立。
那么，当n=k+1时，根据肯普定理，分四种情形：
   ⅰ有一国具有两个邻国
   令C具有两个邻国，如图六，将相邻的C与A两国视为国E，则国家数是k。根据归纳假设，四色猜想成立。因E与B两国只用了两种色着色，且C被A和B包围，故C能换成第三种色或第四种色（其它国家的着色不变。以下同此）。这时，四色猜想也成立。
   ⅱ有一国具有三个邻国
   令C具有三个邻国，如图七，将相邻的C与A两国视为国E，则国家数是k。根据归纳假设，四色猜想成立。因E、B、D三国只用了三种色着色，且C被A、B和D包围，故C能换成第四种色。这时，四色猜想也成立。
   iii有一国具有四个邻国
   令C有四个邻国，如图八，将A、D和C视为国E（由图中的五国两两组成十组，已有八组相邻，故A与D及B与F中至少有一组不相邻，否则与德•摩根定理矛盾。不妨视A与D不相邻，但它们与C相邻），则国家数是k－1。根据归纳假设，四色猜想成立。因E、B、F用了两种色或三种色着色（B与F不相邻为同色或异色，相邻为异色），且C被A、B、D和F包围，故C至少能换成第四种色。这时四色猜想也成立。
   iv有一国具有五个邻国
   此情形是五构形，对此，五构形定理对国家数为不小于14的自然数已证明了四色猜想成立，故n=k+1时四色猜想也成立。
   综上所述，国家数为正自然数的每一幅正规地图，四色猜想都成立（四川省岳池县白庙职中 陈 陶）。
   注： 附图见出师表大叔新浪博客
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雷明85639720

陈先生：
1、“众所周知，对每一幅正规地图，要使相邻的国家着不同色，四种色是必需的。”这句话是错的。蒙古国的地图，就只用三种颜色就够了。蒙古本国一色，中国和俄罗斯各一色，共三色。如果把画地图的纸也看成是个无限面，则其与蒙古国用一种颜色就行了，仍然是三种颜色。你想想你这句话是否有问题。
2、你的图一，图二，图三，都不符合你的“五构形”的定义，这三个图中都有一个国家的相邻国家数是3。而你的定义却是“所有国家的邻国数都大于等于5”。这是否合适。

波斯猫猫

先生你好。我早就说过有关问题，在此最后说一下。1，没有一个国家包围其它国家，这是正规地图的限制条件之一，况且一个国家的疆域是有限的，不是无限的；2，你举出的“反例”只是“每一幅”中的一幅；3，对于全称量词，其说法有，任意的、所有的、每一个、...；4，文中有很多地方用到了全称量词和特称量词，甚至还有全称命题和特称命题；5，网友都可以有自己的观点，学术无止境，对错任评说，但处词最好无“仲裁”性；6，自己私下质疑别人的东西当然可以，但是，要针对别人的东西而提出某个质疑，要小心为是。看看那些版主，个个都是行业高手，乃至精英，为何一言不发、一直保持沉默，难道他们对难题的“证明”者的文章一篇也未浏览过？

雷明85639720

陈先生：
1、难道蒙古国的地图就不是“每一幅”中的一幅吗。而且这种地图是符合正规地图的规定的，你看看坎泊的不可免构形集里是不是有这种地图。
2、我所说的蒙古国的地图只是陈先生所说的“众所周知，对每一幅正规地图，要使相邻的国家着不同色，四种色是必需的。”的反例。并不是正规地图的反例，而是坎泊所说的正规地图中的一种构形。
3、不管是否高手，他们要否定别人的观点，就得拿出他们自已的意见，不谈自已的看法，光在那里瞎否定，就是在胡闹，是学霸作风。
4、正规地图中虽规定了“没有一个国家包围其它国家”，我说的是在实际地图中的确存在莱索托这样的国中之国的，况且不只是莱索托一个国家。我说一下有什么不可以呢。你还“最后说一下”，不说我都是知道的。

任在深

     纯粹数学研结构，
     四色猜想不能凑，
     应用数学靠基础，
     普适规律研究透！