设 m,n∈N ，且 m＞n ，满足 (n^3+1)/(mn-1)∈N ，求 (m,n) 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  设 m,n∈N ，且 m＞n ，满足 (n^3+1)/(mn-1)∈N ，求 (m,n) 的值。

解  当 n=1 时，n^3+1=1^3+1=2 ，它的因子有 1 ，2 。

    mn-1=m-1 要成为它的因子，可以是 m=2 或 m=3 。

    当 n=2 时，n^3+1=2^3+1=9 ，它的因子有 1 ，3 ，9 。

    mn-1=2m-1 要成为它的因子，可以是 m=1 ，m=2 或 m=5 。

    但 m=1 ，m=2 不符合 m＞n=2 ，只有 m=5 。

    当 n=3 时，n^3+1=3^3+1=28 ，它的因子有 1 ，2 ，4 ，7 ，14 ，28 。

    mn-1=3m-1 要成为它的因子，可以是 m=1 或 m=5 。

    但 m=1 不符合 m＞n=3 ，只有 m=5 。
  
    当 n=4 时，n^3+1=4^3+1=65 ，它的因子有 1 ，5 ，13 ，65 。

    mn-1=4m-1 要成为它的因子，找不到符合 m＞n=4 的整数 m 。

    当 n=5 时，n^3+1=5^3+1=126 ，它的因子有 1，2，3，6，7，18，21，42，63，126。

    mn-1=5m-1 要成为它的因子，找不到符合 m＞n=5 的整数 m 。

    当 n=6 时，n^3+1=6^3+1=217 ，它的因子有 1，7，31，217。

    mn-1=6m-1 要成为它的因子，找不到符合 m＞n=6 的整数 m 。

    当 n=7 时，n^3+1=7^3+1=344 ，它的因子有 1，2，4，8，43，86，172，344。

    mn-1=7m-1 要成为它的因子，找不到符合 m＞n=7 的整数 m 。

    当 n=8 时，n^3+1=8^3+1=513 ，它的因子有 1，3，9，19，27，57，171，513。

    mn-1=8m-1 要成为它的因子，找不到符合 m＞n=8 的整数 m 。

    当 n=9 时，n^3+1=9^3+1=730 ，它的因子有 1，2，5，10，73，146，365，730。

    mn-1=9m-1 要成为它的因子，找不到符合 m＞n=9 的整数 m 。

    …………

    符合本题要求的解只有下列 4 组：

    (m,n)=(2,1) ，(m,n)=(3,1) ，(m,n)=(5,2) ，(m,n)=(5,3)  。