对敢峰先生二十次大演绎的剖析

雷明85639720

对敢峰先生二十次大演绎的剖析
雷  明
（二○一六年八月十七日）

1、需要写在前面的话
坎泊在证明四色猜测时，遗漏了有两条连通链的、且该两链有两个以上相交顶点的5—轮构形。因而在十一年后，赫渥特构造了具有这种构形特点的图。由于坎泊与赫渥特都不能对其进行4—着色，所以就得出坎泊的证明是错误的结论。敢峰先生就是从这种具有两条连通链、且该两链有两个以上相交顶点（一个是两链的共同起始顶点，敢峰先生叫“粘结点”，另一个是两链的交叉顶点，敢峰先生叫“相交点”）的5—轮构形开始，进行二十次大演绎而得到敢峰与米勒图的（由于敢峰与米勒几乎是同一时间构造出该图的，所以叫敢峰与米勒图，简称GM—图）。

图1是赫渥特构造的图简化后的“九点形”图，该图中有两条连通链A—C和A—D，两链有两个相交顶点2A和8A。从目前看，该图似乎不能着上图中已用过的四种颜色之一的。但图中有一条环形的C—D链，把A—B链分隔成了互不相通的两部分，交换任一部分都可以使图中的连通链断开，使图变成坎泊已证明过的、是可4—着色的坎泊构形。
敢峰先生认为在顶点1B与7D之间，在3B与6C之间，都一定是会存在B—D链和B—C链的，否则，就不会形成A—C和A—D的交叉链；又认为在顶点2A与8A之间，在8A与1B（或3B）之间，都一定不会存在A—B链，否则，图就是一个可以同时移去两个同色B的坎泊构形的图，给待着色顶点V可以着B；还认为在顶点7D与6C之间也一定有C—D链，并延伸至两侧的A—C链与A—D链，否则，也是可以同时移去两个同色B的图。这里敢峰先生说的在顶点7D与6C之间也一定有C—D链，实际上应是有一个C—D单边，只有这样才能使图成为不可以同时移去两个同色B的图。于是敢峰先生得出了一阶四色不可解线路基准图M（图2）。
敢峰先生从他的一阶四色不可解线路基准图M出发，先从任一个B点开始，交换B—C或B—D（敢峰先生选择择了B—D，先生称为顺时针转换），使图由顶点1，2，3的双B夹A的状态（或BAB型）变成顶点3，4，5的双C夹D的状态（或CDC型）。敢峰先生的演绎的每一步转换，都是要促使图中产生有两条相交的连通链，即达到先生所说的四色不可解状态。即就是在四色可解的情况下，也要人为的设置障碍，使之变成四色不可解的图。最后经过二十次大演绎，使图又回到演绎前的顶点1，2，3是双B夹A的状态（或BAB型）。
2、敢峰先生的二十次大演绎（一九九二年）
第一步：对图2从顶点3B开始交换B—C得图3—1。该345—CDC型构形只有连通链D—A，而没有D—B连通链，是一个坎泊构形，可以交换B—D链，给V着B。为了造成四色不可解，就必须人为的增加B—D链，使图变成有两条连通链的图，如图3—2。
第二步：对图3—2从顶点5A交换A—C得图4—1。该512—ABA型构形只有B—D链连通，而无B—C链连通，四色可解。必须增加B—C连通链，才能成为四色不可解，如图4—2。



第三步：对图4—2从顶点2A开始交换A—D得图5—1。该234—DCD型构形只有C—B链连通，而无C—A链连通，四色可解。必须增加C—A连通链，才能成为四色不可解，如图5—2。
第四步：对图5—2从顶点4D开始交换B—D得图6—1。该451—BAB型构形只有A—C链连通，而无A—D链连通，四色可解。必须增加A—D连通链，才能成为四色不可解，如图6—2。


第五步：对图6—2从顶点1B开始交换B—C得图7—1。该123—CDC型构形只有D—A链连通，而无D—B链连通，四色可解。必须增加D—B连通链，才能成为四色不可解，如图7—2。
第六步：对图7—2从顶点3C开始交换A—C得图8—1。该345—ABA型构形只有B—D链连通，而无B—C链连通，四色可解。必须增加B—C连通链，才能成为四色不可解，如图8—2。
第七步：对图8—2从顶点5A开始交换A—D得图9—1。该512—DCD型构形只有C—B链连通，而无C—A链连通，四色可解。必须增加C—A连通链，才能成为四色不可解，如图9—2。



第八步：对图9—2从顶点2D开始交换D—B得图10—1。该234—BAB型构形只有A—C链连通，而无A—D链连通，四色可解。必须增加A—D连通链，才能成为四色不可解，如图10—2。
第九步：对图10—2从顶点4B开始交换B—C得图11—1。该451—CDC型构形既有D—A链连通，又有D—B链连通，两链相邻且相交（相邻者有共同的起始顶点，即先生所说的“粘结”），本身就是四色不可解，如图11—2。

第十步：对图11—2从顶点1C开始交换C—A得图12—1。该123—ABA型构形只有B—D链连通，而无B—C链连通，四色可解。必须增加B—C连通链，才能成为四色不可解，如图12—2。

第十一步：对图12—2从顶点3A开始交换A—D得图13—1。该345—DCD型构形既有C—A链连通，又有C—B链连通，两链相邻且相交，本身就是四色不可解，如图13—2。
第十二步：对图13—2从顶点5D开始交换D—B得图14—1。该512—BAB型构形既有A—C链连通，又有A—D链连通，两链相邻且相交，本身就是四色不可解，如图14—2。


第十三步：对图14—2从顶点2B开始交换B—C得图15—1。该234—CDC型构形既有D—A链连通，又有D—B链连通，两链相邻且相交，本身就是四色不可解，如图15—2。

第十四步：对图15—2从顶点4C开始交换C—A得图16—1。该451—ABA型构形只有B—D链连通，而没有B—C链连通，四色可解。必须增加B—C连通链，才能成为四色不可解，如图16—2。
第十五步：对图16—2从顶点1A开始交换A—D得图17—1。该123—DCD型构形既有C—A链连通，又有C—B链连通，两链相邻且相交，本身就是四色不可解，如图17—2。图中有一条环形的A—B链，是一个H—构形的图。


第十六步：对图17—2从顶点3D开始交换D—B得图18—1。该345—BAB型构形既有A—C链连通，又有A—D链连通，两链相邻且相交，本身就是四色不可解，如图18—2。图中有一条环形的A—B链，不经过两连通链的交叉顶点，还有一条环形的C—D链，是一个M—构形的图。
第十七步：对图18—2从顶点5B开始交换B—C得图19—1。该512—CDC型构形既有D—A链连通，又有D—B链连通，两链相邻且相交，本身就是四色不可解，如图19—2。图中只有一条环形的A—B链，是一个H—构形的图。



第十八步：对图19—2从顶点2C开始交换C—A得图20—1。该234—ABA型构形既有B—D链连通，又有B—C链连通，两链相邻且相交，本身就是四色不可解，如图20—2。图中有一条环形的A—B链，还有一条环形的C—D链，是一个M—构形的图。
第十九步：对图20—2从顶点4A开始交换A—D得图21—1。该451—DCD型构形既有C—A链连通，又有C—B链连通，两链相邻且相交，本身就是四色不可解，如图21—2。图中只有一条环形的A—B链，是一个H—构形的图。

第二十步：对图21—2从顶点1D开始交换D—B得图22—1。该123—BAB型构形既有A—C链连通，又有A—D链连通，两链相邻且相交，本身就是四色不可解，如图22—2。图中有一条环形的A—B链，不经过两连通链的交叉顶点，还有一条环形的C—D链，是一个M—构形的图。

到此，已进行了二十步的演绎，图中原来一阶四色不可解线路基准图M（图2）中，各顶点的颜色又都恢复到原来的颜色，原来是123—BAB型，现在仍是123—BAB型，原来的两条连通且相交叉的链是A—C和A—D，现在仍然是A—C和A—D。如果再继续演绎下去，又会在经过二十次演绎后，又回到现在图22—2中各顶点所着的颜色，这才是真正出现了循环。米勒所说的颠倒四次出现的循环，张彧典先生所说的颠倒八次出现的所谓大循环，还远没有达到真正的大循环的地步。
以上是敢峰先生得到GM—图的过程，在他一九九四年出版的《证明四色定理的新数学》一书和二○一一年出版的《4CC和1＋1的证明》一书中都有祥情。张彧典先生在他二○一○年出版的《四色问题探秘》一书中也有一个构造GM—图的过程，但很难看懂，没有敢峰先生在这里的构造过程的罗辑性强。
3、敢峰先生所排除掉的几个构形的4—着色
由于敢峰先生在一阶四色不可解线路基准图M（图2）中规定6C和7D“之间有D……C隐线，并延伸到与两侧的A—C、A—D交会”，这样就排除了图23—2，图23—3和图23—4的三种情况，而只有图23—1（即图1的赫渥特“九点形”构形）一种情况未排除。
对于图23—1的赫渥特构形，正如前面图1中说的交换任一条A—B链都可使连通链断开，使构形变成坎泊构形而可4—着色。对于图23—2的构形，可以先从任一个B点交换关于B的链，再从另一个B点交换关于B的另一条链，即可空出颜色B给V着上。而对于图23—3 的构形，则必须先从顶点1B交换B—D链，后从顶点3B交换B—C链，才能同时移去两个同色B。对于图23—4的构形，则正好与图23—3的相反，先要从顶点3B交换B—C链，后从顶点1B交换B—D链，才能同时移去两个同色B。


还有一种如图24的两种情况，图中既无环形链，也不能同时移去两个同色时，就只有先移去一个同色，采用颠倒的方法，使构形转型了。这种图，施行一次颠倒后，图不是变成可以同时移去两个同色的构形，就是变成一个赫渥特构形，都是可以4—着色的。
到此，可以说把敢峰先生所排除了的几种构形的4—着色已经都补充了上来，使敢峰先生的证明就更加完善了。
4、关于GM—图与赫渥特构形的4—着色问题
在上面已经讲了两次，赫渥特图（构形）4—着色用的是“断链法”，并且是从两条连通链的相交顶点（包括交叉顶点和粘结顶点两种）交换A—B链进行“断链的”，而敢峰先生和张彧典先生对GM—图的着色所交换的任一条C—D链，实际上也是一种“断链法”，也达到了使A—C链和A—D链“断开”的目的。但它则是从两连通链的非相交顶点进行“断链的”。当把GM—图再进行一次颠倒或演绎后，得到的图是一个具有赫渥特构形特征的451—DCD型的构形（如图25—1）或345—DCD型的构形（如图25—2）。

图25的构形中只有一条环形链A—B，没有环形的C—D链，而123—BAB型的GM—图中却有两条环形链A—B和C—D，这就是两种构形的最大区别。在图25里，环形的A—B链，相当于是在图1和图23—1里的环形链C—D，在这里交换了C—D链，就相当于在图1和图23—1里交换了A—B链，也是从赫渥特构形的两条链通链的相交顶点进行的“断链”。而敢峰先生和张彧典先生只知道交换环形的A—B链内、外的任一条C—D链就可以使GM—图及其再次颠倒所得的图进行4—着色，但他们都不知道为什么要这么做。
对图22—2的GM—图进行再次演绎得到图，是在GM—图与H—构形之间的不断转化的现象，其实在图22以前就已经开始了。从第十五步演绎完成后，图变成一个极大图开始，图17就是一个H—构形，第十六步的18，第十八步的图20，以及第二十步的图22都是GM—图，而第十七步的图19和第十九步的图21则都是H—构形。在这里的GM—图中都既有环形的A—B链，也有环形的C—D链；而在H—图中则只有环形的A—B链，而没有环形的C—D链。

雷  明
    二○一六年八月十七日于长安

注：此文已于二○一六年八月二十日在《中国博士网》上发表过。网址是：

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