三角形 ABC 内有一点 D ，使 ∠DBC=∠DCA=∠DAB=30°，求证：ΔABC 是正三角形

luyuanhong

谢谢楼上 ccmmjj 和 hui 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

angel_phoenix88

定义三角形ABC被的三个角减掉30度余下的部分分别为θ,β，δ，原题等价于证明θ，β，δ同时等于30度
很显然β+θ+δ＝π/2

AD*BD*CD/(sinθsinβsinδ)＝AD*BD*CD/(sinπ/6∧3)
sinθsinβsinδ＝1/8
sinδ＝cos(π/2－δ)＝cos(θ+β)＝cosθcosβ－sinθsinβ

8tgθtgβ(1-tgθtgβ)＝(tgθ∧2+1)(tgβ^2+1)
9(tgβtgθ)∧2+tgβ∧2+tgθ∧2+1-8tgβtgδ=0=(3tgβtgθ－1)∧2+(tgβ－tgθ)∧2
两个完全平方数的和等于零，你懂的
θ=β=π/6

luyuanhong

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