为什么一个既约分数能化为十进制有限小数的条件是分母只能含有质因数 2 或 5 的乘幂？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

為什麼化為有限小數的條件是 分母只能含有2或5的質因數

luyuanhong

题  为什么一个既约分数能化为十进制有限小数的条件是

    分母只能含有质因数 2 或 5 的乘幂？

解  设 m/n 是一个既约分数，m,n 是两个互质的正整数。

    如果 m/n 能化为十进制有限小数，则必有

            m/n = a/10^k ，其中 a ,k 都是正整数。

    也就是有
                     m×10^k = na 。

    可见，m×10^k 是 n 的整数倍数，m×10^k 中包含了

n 的全部质因数。

    因为 m,n 互质，m 中不含有 n 的任何质因数，因此，

n 的质因数必定都包含在 10^k 中。

    因为 10^k = 2^k×5^k ，由质数 2，5 的乘幂组成，

所以，分母 n 的质因数也只能是 2 或 5 的乘幂。