在 ΔABC 中，AB=40，AC=31，sinA=2/5，B,C 在 QR,RS 上，求外接矩形 AQRS 的最大面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

王守恩

这道题太好了，我忍不住还是想说两句，不能让它就这样溜过去。
已知条件同上
一般的，我们有：
三角形面积/矩形面积=SinA/（1+SinA）
矩形包括长方形、正方形。

王守恩

已知：40=m    30=n    SinA=SinA
求：（三角形面积/矩形面积）的极小值
1、三角形面积=m×n×SinA/2
2、矩形面积=m×Cosθ×n×Cosθ
答：三角形面积/矩形面积=（m×n×SinA/2）/（m×Cosθ×n×Cosθ）= SinA/2Cosθ^2=SinA/（1+SinA）

王守恩

已知：40=m    31=n    SinA=SinA
求：（三角形面积/矩形面积）的极小值
1、三角形面积=m×n×SinA/2
2、矩形面积=m×Cosθ×n×Cos（90-A-θ）
答：三角形面积/矩形面积=（m×n×SinA/2）/（m×Cos（90-A-θ）×n×Cosθ）
                                        = SinA/（2Sinθ（A+θ）Cosθ）
                                        = SinA/（Sin（A+θ+θ）+Sin（A+θ-θ））
                                        = SinA/（Sin（A+2θ）+SinA）
                                        = SinA/（1+SinA）
因为Sin（A+2θ）要取最大值，所以Sin（A+2θ）=1
小结：
1、一个三角形有3个角，A点可以有三种摆法，每种摆法都可能出现矩形。
2、什么样的三角形，会出现三个矩形。
3、什么样的三角形，会出现两个矩形。
4、什么样的三角形，会出现一个矩形。
5、对一个三角形来说，哪种摆法出现矩形最大？