证明：当 x→∞ 时，双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2=1 渐近线上一点到两焦点距离之差趋于常数

denglongshan

假设P是双曲线一条渐近线的无穷远点，这条双曲线上任意一点与两个焦点距离差的绝对值等于常数k。证明：P与两个焦点距离差的绝对值的极限等于常数k。
证明：因为P是双曲线一条渐近线的无穷远点，而当渐近线无限接近双曲线时，可以认为P在双曲线上，所以P与两个焦点距离差的绝对值等于的极限常数k。
叙述不正确之处，请纠正。

luyuanhong

楼上的直观想法不错，但直观的想法不能代替严格的证明。

angel_phoenix88

可以定义P点坐标为(asec(θ),btg(θ)),求取θ接近π/2时PF1-PF2的极限
PF1-PF2＝sqrt((asec(θ)+c)∧2+(btg(θ))^2)－sqrt((asec(θ)-c)∧2+(btg(θ)∧2)
＝4acsec(θ)/(sqrt((asec(θ)+c)∧2+(btg(θ))^2)+sqrt((asec(θ)-c)∧2+(btg(θ)∧2))
=4ac//(sqrt((a+ccos(θ))∧2+(bsin(θ))^2)+sqrt((a-ccos(θ))∧2+(bsin(θ)∧2))
当cos(θ)趋向于0时的极限,等于2a