S 是 R 的非空子集，d(x,s)=inf{|x-y|：y∈S} ，证明 f：x→d(x,S) 是 R 上的连续函数

Alsichkann

第六题第一小问，谢谢

ccmmjj

证明:设S'是S的闭包。若x∈S',则d(x)=0,∴d(x+Δx)≤Δx,∴limd(x+Δx)=0=d(x) (Δx→0).
若x&#8713;S’，则存在去心领域（x,ε）￠S',有d-Δx≤d(x+Δx)≤d+Δx其中|Δx|<ε，于是有limd(x+Δx)＝d(x) (Δx→0)。由上所知，函数d(x)连续。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的解答很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。