求 b 使方程 (xy)^(1/3)=b^b ，logb[x^logb(y)]+logb[y^logb(x)]=6b^4 有实数解 (x,y)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix88

很显然b＞0，x＞0,y＞0
logb(x)+logb(y)=3b(1)
logb(x)logb(y)=3b^4(2)
可以获得9b^2－12b^4≥0
可以得出0＜b≤sqrt(3)/2
x,y对称，不妨设x＜y
logb(x)－logb(y)=-bsqrt(9-12b^2)(3)
结合(1)(3)
x=b^((3b-bsqrt(9－12b^2)/2)
y=b^((3b+bsqrt(9－12b^2)/2)
0<b≤sqrt(3)/2

x,y可交换位置

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。