敢峰和米勒图的奇妙特性——与张彧典先生共同商榷

雷明85639720

敢峰和米勒图的奇妙特性
——与张彧典先生共同商榷
雷  明
（二○一六年九月七日）

最近我在研究敢峰和米勒所构造的图时发现，当对该图进行连续的颠倒或演绎时，会出现一些有规律的现象，更有两次小循环，四次中循环与二十次大循环之分，大的循环包含着小的循环，且它他们之间的颠倒（或演绎）次数有着数倍数的关系。就是不存在张彧典先生所说的八次大循环。

现在我们对敢峰和米勒的图进行连续的颠倒如下，这里我采用了米勒的画图方法，隐去了待着色顶点。我们用敢峰和米勒名字的第一个字母表示该图，即GM—图。
图1中的GM—图，是一个123—BAB型5—轮构形，图中相交的连通链是A—C和A—D，有两个相交顶点，图、相交的连通链、相交顶点的分布都是轴对称的，有一条环形的A—B链和一条环形的C—D链。着色时可以交换经过顶点4和5或6和7的C—D，都可使连通的两条链断开，构形变成坎泊构形而可约。

图2，a是对GM—图进行了一次逆时针颠倒的结果，是一个451—DCD型的5—轮构形，图2，b等价于图，a（以下同），图中相交的连通链是C—A和C—B，有三个相交顶点，相交的连通链、相交顶点的分布都是不对称的，且链和相交顶点的“重心”均在图的对称轴的右边，只有一条环形的A—B链，没有环形的C—D链，是一个赫渥特构形。着色时可以交换任一条C—D链，都可使连通的两条链断开，构形变成坎泊构形而可约。
图3，a是对图2，a再进行了一次（第二次）逆时针颠倒的结果，是一个234—ABA型的5—轮构形，图中相交的连通链是B—C和B—D，有四个相交顶点，图、相交的连通链、相交顶点的分布也都是轴对称的，有一条环形的A—B链，也有一条环形的C—D链，是一个敢峰和米勒的构形。着色时可以交换任一条C—D链，都可使连通的两条链断开，构形变成坎泊构形而可约。

图4，a是对图3，a再进行了一次（第三次）逆时针颠倒的结果，是一个512—型的5—轮构形，图中相交的连通链是D—A和D—B，有三个相交顶点，相交的连通链、相交顶点的分布也都是不对称的，且链和相交顶点的“重心”均在图的对称轴的左边，有一条环形的A—B链，但没有环形的C—D链，是一个赫渥特构形。着色时可以交换任一条C—D链，都可使两条连通的链断开，构形变成坎泊构形而可约。

图5，a是对图4，a再进行了一次（第四次）逆时针颠倒的结果，图中相交的连通链是A—C和A—D，有两个相交顶点，图、相交的连通链、相交顶点的分布也都是轴对称的，有一条环形的A—B链，也有一条环形的C—D链，是一个敢峰和米勒的构形。着色时可以交换任一条C—D链，都可使两条连通的链断开，构形变成坎泊构形而可约。

图5和图1都是BAB型的5—轮构形，且其他顶点的色两个图也是完全相同，应该说5—轮构形从BAB型，到DCD型，再到ABA型，以及到CDC型，最后又返回到BAB型，是完成了四种类型一个周期的循环。但图中相应顶点的颜色又不是原图1中对应顶点的颜色，这就说明真正的循环还没有完成，正象敢峰先生所说的，需要进行二十次颠倒后，才能真正出现大循环，各顶点的颜色才能与图1中的颜色相同。以后的循环仍与以上的循环相同，所以这里也就不再画图了。到各对应顶点的颜色完全相同时，需要这样的中循环进行20÷4＝5次。即到达第5个BAB型5—轮构形出现时，各顶点的颜色就与原图1的颜色相同了。
中循环还有两个，一个是两相交连通链、相交顶点的“重心”从处于图的对称轴上，到处于对称轴的右边，再到处于图的对称轴上，以及再到处于对称轴的左边，最后又返回到处到图的对称轴上，也完成了四种分布的一个周期。另一个中循环就是两链通链的相交顶点的数量，从两个，到三个，再到四个，又到三个，最后又返回到两个，也完成了由两个交点到四个交点的周期性的变化。最后，还有一个小循环，即敢峰和米勒图与赫渥特图相互转化的两个构形间的循环。一个中循环包括着两个小循环，而一个大循环则包括着十个小循环。达到一个大循环后，不但各顶点的颜色与图1完全相同，而且两条相交的连通链、相交的顶点数量，相交链的对称性也都与图1完全相同。这里根本就没有出现什么八次大循环，不知张先生的八次大循环是怎么得来的。八次颠倒虽然出现了BAB型的5—轮构形，但八次又不可能与二十次有整倍数的关系，“八次大循环”实在是多余的，张先生这个“八次大循环”实际上是把上面的“四次中循环”重复了两次，而不是真正的循环。张先生是否是为了满足他的八大构形中最多是要进行八次颠倒而提出了“八次大循环”的呢。

雷  明
二○一六年九月七日于长安

注：此文已于二○一六年九月七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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