一元二次方程x^2-ax+b=0

王守恩

一元二次方程x^2-ax+b=0
有正整数根9个。
条件：a+b=195
这9个根是？

realnumber

关于x的一次方程ax+b=0,(a≠0),可解得唯一解x=-b/a
二次方程可以配方，(x-0.5a)^2=-b+0.25a^2
在右边大于等于0条件下（负的话，是虚数根了），有2个实数根（特别右边等于0是两个一样的根）。
哪里来的9个根啊？

luyuanhong

angel_phoenix88

一元二次方程想x∧2-ax+b=0的根总是共轭存在(把特例等根x1=x2也算作2个根)
设x1≤x2
由根与系数关系
(x1+1)(x2+1)=a+b+1=196
得出x1+1≤sqrt(196)=14
196=1*196=2*98=4*49=7*28=14*14
前四组分解的因子减1和13就是其9个解

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

realnumber

可能出题人就是这个意图，确实没想到.
不过题目依然有漏洞，题目没说a,b也是整数，也没说都是整数解，
比如x1=-0.5,x2=391,a=394.5,b=-0.5×391也符合要求

王守恩

realnumber 发表于 2016-9-8 13:38
可能出题人就是这个意图，确实没想到.
不过题目依然有漏洞，题目没说a,b也是整数，也没说都是整数解，
...

题目确实有漏洞，更改如下：
一元二次方程x^2+ax+b=0，有正整数根9个。
条件：a+b=195，a、b是整数。
这9个根是？