[求助]请教陆教授一个推导的问题.

技术员

如果f(x1)+f(y1)=f(z1);
f(x2)+f(y2)=f(z2);
f(x3)+f(y3)=f(z3);
   .
   .
   .
f(xn)+f(yn)=f(zn);
以上各式都无有理数解，能否推出：
f(x1)+ f(x2)+ f(x3)+…+ f(xn)+ f(y1)+ f(y2)+ f(y3)+…+ f(yn)=f(z1)+ f(z2)+ f(z3)+…+ f(zn)
也无有理数解，能否推出：
f(xi)+f(yj)=f(zk)(i,j,k为正整数)
也无有理数解。

luyuanhong

下面引用由技术员在 2010/10/28 00:22pm 发表的内容：
如果f(x1)+f(y1)=f(z1);
f(x2)+f(y2)=f(z2);
f(x3)+f(y3)=f(z3);
...
f(xn)+f(yn)=f(zn);
以上各式都无有理数解，能否推出：
f(x1)+ f(x2)+ f(x3)+…+ f(xn)+ f(y1)+ f(y2)+ f(y3)+…+ f(yn)=f(z1)+ f(z2)+ f(z3)+…+ f(zn)
也无有理数解，能否推出：
f(xi)+f(yj)=f(zk)(i,j,k为正整数)
也无有理数解。

不能推出。
例如，X1^3+Y1^3=Z1^3 和 X2^4+Y2^4=Z2^4 都无有理数解，
但是 X1^3+Y1^3=Z2^4 却有有理数解 2^3+2^3=2^4 。

技术员

下面引用由luyuanhong在 2010/10/28 00:39pm 发表的内容： 不能推出。
例如，X1^3+Y1^3=Z1^3 和 X2^4+Y2^4=Z2^4 都无有理数解，
但是 X1^3+Y1^3=Z2^4 却有有理数解 2^3+2^3=2^4 。

X1^3+Y1^3=Z1^3为f(X1)=X1^3而X2^4+Y2^4=Z2^4为g(X1)=X1^4,f(X1)≠g(X1) 我是说都为f(x)的情况,陆教授误解了我的意思了.

luyuanhong

下面引用由技术员在 2010/10/28 06:04pm 发表的内容：
X1^3+Y1^3=Z1^3为f(X1)=X1^3而X2^4+Y2^4=Z2^4为g(X1)=X1^4,f(X1)≠g(X1)
我是说都为f(x)的情况,陆教授误解了我的意思了.

    如果 f(x) 表示同一个函数，那么说
“f(X1)+f(Y1)=f(Z1) , f(X2)+f(Y2)=f(Z2) , f(X3)+f(Y3)=f(Z3) ,… 无有理数解”，
实际上就是说一个式子 f(X)+f(Y)=f(Z) 无有理数解。
    当 f(X)+f(Y)=f(Z) 无有理数解时，当然 f(Xi)+f(Yj)=f(Zk) 也无有理数解，
因为 f(Xi)+f(Yj)=f(Zk) 这个式子实际上就是 f(X)+f(Y)=f(Z) 。
-----------------------------------------------------------------------
  当 f(X1)+f(Y1)=f(Z1) , f(X2)+f(Y2)=f(Z2) , f(X3)+f(Y3)=f(Z3) ,… 无有理数解，
也就是  f(X)+f(Y)=f(Z) 无有理数解时，能不能推出：
f(X1)+f(X2)+…+f(Xn)+f(Y1)+f(Y2)+…+f(Yn)=f(Z1)+f(Z2)+…+f(Zn) 无有理数解？
    我的回答是：不能。
    例如：设 f(X)+f(Y)=f(Z) 为 X^3+Y^3=Z^3 ，它显然无有理数解，但是
f(X1)+f(X2)+f(Y1)+f(Y2)=f(Z1)+f(Z2) 也就是 X1^3+X2^3+Y1^3+Y2^3=Z1^3+Z2^3
存在有理数解：  1^3+1^3+6^3+8^3 = 1^3+9^3 。

技术员

下面引用由luyuanhong在 2010/10/28 06:54pm 发表的内容： 如果 f(x) 表示同一个函数，那么说
“f(X1)+f(Y1)=f(Z1) , f(X2)+f(Y2)=f(Z2) , f(X3)+f(Y3)=f(Z3) ,… 无有理数解”，
实际上就是说一个式子 f(X)+f(Y)=f(Z) 无有理数解。
当 f(X)+f(Y)=f(Z) ...

我明白了,但当X,Y,Z>=2呢?

技术员

还有我能证到f(1)+f(2)=f(Z1)无有理数解,能否说明f(2)+f(3)=f(Z2)也无有理数解

luyuanhong

下面引用由技术员在 2010/10/28 07:19pm 发表的内容：
我明白了,但当X,Y,Z>=2呢?

加上“X,Y,Z>=2”的限制，结论也一样。
例如，本来 1^3+1^3+6^3+8^3=1^3+9^3 不满足“X,Y,Z>=2”的条件，我把每个数字
都乘以 2 、乘以 3 、… ，得到
   2^3+2^3+12^3+16^3=2^3+18^3 ，3^3+3^3+18^3+24^3=3^3+27^3 ， …
就满足“X,Y,Z>=2”的条件了。

luyuanhong

下面引用由技术员在 2010/10/28 07:29pm 发表的内容：
还有我能证到f(1)+f(2)=f(Z1)无有理数解,能否说明f(2)+f(3)=f(Z2)也无有理数解

  不能。
例如，设 f(x)=(x+1)^2 。
f(1)+f(2)=f(Z1) 就是 (1+1)^2+(2+1)^2=(Z1+1)^2 ,即 2^2+3^2=13=(Z1+1)^2 ,
显然这个方程无有理数解。
但是，f(2)+f(3)=f(Z2) 就是 (2+1)^2+(3+1)^2=(Z2+1)^2 ,即 3^2+4^2=25=(Z2+1)^2 ,
这个方程存在有理数解：Z2=4 时，有 3^2+4^2=5^2=(4+1)^2 。

技术员

谢谢陆教授,我完全明白了.