除了地球是平的，人类的另一个直觉常识也是错的，全体自然数都乘以2是不可能的

litkidium

看到标题，相信很多人会有一个想法：又来了一个疯子，集合{1,2,3,4...}全体数都乘以2不就是{2,4,6,8...}吗？全体自然数都乘以2不是天经地义的常识吗？这个疯子怎么会说全体自然数都乘以2是不可能的的呢？且慢，我不是疯子，在从{1,2,3,4...}变成{2,4,6,8...}的过程中的确发生了一些绝大多数人都忽略了的事情。你们一定听过魔鬼在细节里这句话吧？那么现在我就通过展开细节把这个魔鬼呈现在大家面前。

1.集合N={1,2,3,4,...n}，n为任意自然数
2.将其中每个数都乘以2
3.乘以2之后的结果要属于集合N

我在这加上一个条件：乘2之后的结果要属于集合N，为什么要加这个条件3.呢？条件3.的作用不是为了终止乘以2这个过程，而是为了展现一个大家都没注意的细节。我告诉你们这个条件3.非常重要，等到后面你们就会明白的。假设n=9，那么N={1,2,3,4,5,6,7,8,9},乘2得到{2,4,6,8,5,6,7,8,9}，乘2的过程中我们会发现一个问题：4x2=8之后，5x2=10，而10不属于集合N,所以这个乘法没法往下算了。对于任意自然数的n，集合N中所有数乘2的过程只能进行到大约一半的位置就乘不下去了。

4.为了继续将乘法进行下去，必须在集合N之外借入其他自然数，例如上例中必须在集合N之外借入10,12,14,16,18,一共5个数才能完成全体数乘以2的任务。于是我们可以由此得出以下常识：

常识A：n越大集合N中无法乘以2的数就会越多，需要从集合N之外借入的数也越多
常识B：无法乘以2而需要借入的数的数量是(n+1)/2个或者是n/2个
常识C：在集合N之外借入多个数之后，可以完成乘法得到{2,4,6,8...2n}

上面我们将从{1,2,3,4,...n}到{2,4,6,8,...2n}的过程详细展开了，那么魔鬼在哪里呢？对于任意的自然数n,常识A、常识B、常识C都是成立的，如果n是无穷呢？常识A、常识B、常识C当然都是仍然成立的，那么当N是全体自然数呢？常识A、常识B仍然成立，但是常识C却不成立了，因为集合N是全体自然数，集合N之外不存在任何其它自然数，无法从集合N以外借到任何数，所以全体自然数乘以2的过程只能进行到一半就无法继续下去了。除非我们去掉那个条件3.所有数乘以2以后结果不必是自然数我们才可以完成那个乘法。魔鬼终于被找到了！

我们一直以来认为天经地义的常识：“集合{1,2,3,4...n...}全体数都乘以2一定可以完成并得到{2,4,6,8...2n...}”其实是错的。正确的常识是集合{1,2,3,4...n...}全体数只有约一半能乘以2，另一半要借数才能完成所有乘法。这个乘法过程里只有常识A和常识B是真正经得起时间考验的常识，但是因为大多数人都忽视了条件3.这个重要前提，所以常识AB就成为了没有人注意到的常识。

花了那么多时间去证明全体自然数都乘以2是不可能的，这有什么用呢？呵呵，用处太大了，因为100多年前康托先生用全体自然数都乘以2这个“常识”证明了{1,2,3,4...}和{2,4,6,8...}是一一对应的，进一步还证明了真子集和父集一样大（在此哈哈哈大笑三声），并由此为基础建立了一个康托数学帝国。今天该是我们重新审视这个数学帝国的时候了。如果当初我们能把这个简单的证明告诉康托先生的话，也许他就不会犯精神分裂了。


给初次看此文的人一个建议：你一定要象抛弃地球是平的这个常识一样抛弃掉{1,2,3,4...n...}里每个数都能乘以2这个常识，你应该把注意力集中在常识A和常识B上面，你必须要找到一个合适的自然数赋予给n，证伪常识A和常识B，这样你才能维护住“集合{1,2,3,4...n...}全体数都乘以2必定可以完成并得到{2,4,6,8...2n...}”这个旧常识的正确性。如果你无法证伪A和B，那么你就应该欣然接受并拥抱新的常识。当年人类接受了地球是圆的这个新常识后，在地球上发现了新大陆，后来在新大陆上还出现了一个伟大的国家。今天这个新的常识也会给我们带来丰厚的回报的。

圆海一傻

既然后存在。必有原因。-1.0.1以0为中心。任何数*2皆可以。

圆海一傻

既然存在。必有原因。-1.0.1以0为中心。任何数*2皆可以。