含60度角的三角形的特性

费尔马1

不定方程c^2=a^2-ab+b^2，a、b、c为三角形的三条边，c的对角为60度。此不定方程有无穷多组解，其中最小的两组解是a=3，b=8，c=7；a=5，b=8，c=7。
（1）写出不定方程c^2=a^2-ab+b^2的解集公式；
（2）写出不定方程c^2=a^2-mab+b^2，当m为大于1的奇数时的解集公式。

费尔马1

老师们好！

费尔马1

老师们辛苦了

费尔马1

，，，，

费尔马1

，，，，

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

费尔马1

感谢坛主关注我的这个小小的帖子。（首次关注）
陆坛主的这篇文章实在高深莫测，我要慢慢地努力学习。
在您的公式里没有不定方程c^2=a^2-mab+b^2，当m为大于1的奇数时的解集公式。你看是不是

iya81io

鉴定完毕.!












电影网站你们懂得

luyuanhong

费尔马1 发表于 2016-11-19 21:41
感谢坛主关注我的这个小小的帖子。（首次关注）
陆坛主的这篇文章实在高深莫测，我要慢慢地努力学习。
在 ...

我在第 7 楼中给出的是一个普遍适用的公式，只要将各种具体情况代入我的公式，就可以得到所要的结果。

你要求的是 a^2-mab+b^2=c^2 的整数解的公式，代入第 7 楼帖子中的公式，可以得到：

    a=u^2-v^2 ，b=2uv-mv^2 ， c=u^2-muv+v^2 ，其中 u,v 是两个任意整数。

例如，当 m=3 时，上述公式就是

    a=u^2-v^2 ，b=2uv-3v^2 ， c=u^2-3uv+v^2 ，其中 u,v 是两个任意整数。

   取 u=5 ， v=1 ，就有

    a=u^2-v^2=5^2-1^2=24 ，

    b=2uv-3v^2=2×5×1-3×1^2=7 ，

    c=u^2-3uv+v^2=5^2-3×5×1+1^2=11  。

验证一下：

   a^2-3ab+b^2=24^2-3×24×7+7^2=576-504+49=121=11^2=c^2 。

费尔马1

陆教授的解答非常棒！谢谢您的指点。
我的解法：不定方程c^2=a^2-mab+b^2
当m=1时，a=（3b-u）（b+u）/4u ，b=奇数且大于1，c=（3b^2+u^2）/4u
当b、u互质时u取1、3即得基础解，b大于u，且b^2是u的倍数。
当m为大于1的奇数时，a=[（m+2）b+u][（m-2）b+u]/4u，b=奇数≧1，c=[（m^2-4）b^2-u^2]/4u
当b、u互质时，u取1、m+2，m-2即得基础解，mb大于u且b^2是u的倍数；当b是u的倍数时，所得的解为倍数解；当u=1时，b可以为1。
当m为4k+2时，当m为4k时均得出了公式，略。