数列满足 F(1)=F(2)=1 ，F(n+2)=F(n+1)+F(n) ，求级数 ∑(k=1,∞)F(k)/5^k 之和

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix88

这个是菲波拉契数列呀
通项公式
F(n)＝(q∧n－p^n)/sqrt(5)
其中q＝(1+sqrt(5))/2，p＝(1－sqrt(5))/2
pq=-1,p+q=1
要求解的结果等于两个q/5和p/5(都小于1)的等比数列加和
所以答案＝(1/(1-q/5)+1/(1-p/5))/sqrt(5)=
7/(19sqrt(5))

angel_phoenix88

这个是菲波拉契数列呀
通项公式
F(n)＝(q∧(n+1)－p^(n+1))/sqrt(5)
其中q＝(1+sqrt(5))/2，p＝(1－sqrt(5))/2
pq=-1,p+q=1
要求解的结果等于两个q/5和p/5(都小于1)的等比数列加和
所以答案＝(q/(1-q/5)-p/(1-p/5))/sqrt(5)=
4/19
上面的结果有点问题

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。

我已将第 3 楼的帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

angel_phoenix88

费氏数列的求解过程
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
定义一个常数k，让其满足
F(n+2)+kF(n+1)=(1+k)((F(n+1)+kF(n))
可以解出k=(sqrt(5)-1)/2
因此获得F(n+2)+kF(n+1)=((1+k)^n)(F(2)+kF(1))=(1+k)^(n+1)



再递推获得
费氏数列通项公式
F(n)＝(q∧(n+1)－p^(n+1))/sqrt(5)
其中q＝(1+sqrt(5))/2，p＝(1－sqrt(5))/2
pq=-1,p+q=1
似乎也有用归纳法证明的，总之对数学感兴趣的记住这个经典通项公式，

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。