f(x)=x^x的拉普拉斯变换是否存在？？

qingjiao

表面看来，f(x)=x^x=(e^lnx)^x=e^(xlnx)，当x-->∞时，不存在一个确定范围的s，使e^[(xlnx)-sx]收敛，因而f(x)的拉普拉斯变换不存在。



但将f(x)展开成无穷级数后，f(x)=1+xlnx+(xlnx)^2/2!+(xlnx)^3/3!+...，每一项的拉普拉斯变换都应是存在的。那么这些项的变换是否有部分重合的收敛域？如果有这样的收敛域，是否说明这些项的拉普拉斯变换可以合并，因而f(x)的拉普拉斯变换存在？？