sturm序列法

qilongzhu

我想探讨一下神奇的sturm序列法，但因水平低，只能粗浅地探究，且难免错谬百出，敬请见谅。
1.非负多项式的判定
设a_0≠0，f(x)=a_0x^n+a_1x^(n-1)+...+a_n,令f_0(x)=f(x+ε),f_1(x)=f*(x),
f_2(x)=-rem(f_0,f_1),...,f_n(x)=-rem(f_(n-2),f_(n-1)),记此序列的变号数函数为W(x).
本节总假定ε为充分小正数,本节记x～y表示x与y同号，规定0只与0同号。
定理1.1 f(x)在(a,b]上的奇重零点个数为W(a)-W(b)。
推论1.1 f(x)在(a,b]上不变号的充要条件为W(a)=W(b-2ε)。
记sg(x_0,...,x_n)为实数列x_0,...,x_n的变号数，
令f_i(x)=a(i,0)x^n+a(i，1）x^(n-1)+...+a（i，n）.
引理1.1 （1)a（ii）≠0;(2)-（a（i+1,i+1)）^2a(i+2,j)=(a(i+1,i+1))^2a(i,j)-
a(i+1,i+1)a(i+1,j)a(i,i+1)+a(i+1,i+2)a(i+1,j)a(i,i)-a(i+1,j+1)a(i+1,i+1)a(i,i)
推论1.2 设a_n≠0，f(x)在(-∞,+∞)上非负的充要条件为:
n为偶数∧a_0＞0∧a_n＞0∧sg(1,a(2,2），...，a(n,n）)=n/2
推论1.3 设a_n≠0，f(x)在[0,+∞)上非负的充要条件为
a_0＞0∧a_n＞0∧((a_(n-1)≥0∧
sg(1,a(2,n），...，a(n,n）)=sg(1,a(2,2），...，a(n,n）)∨
(a_(n-1)＜0∧sg(-1,a(2,n），...，a(n,n）)+1=sg(1,a(2,2），...，a(n,n）)))
例1.1 设f(x)=ax^2+bx+c,a≠0,a(2,2)～-a(4a(c+bε+aε^2)-2b(b+2aε)+b^2)=
b^2-4ac-4aε^2,于是
(1)f(x)在(-∞,+∞)上非负的充要条件为a＞0∧c≥0∧b^2-4ac≤0
(2)f(x)在[0,+∞)上非负的充要条件为a＞0∧c≥0∧(b≥0∨b^2-4ac≤0)
2.连续函数的变号数
记o(f)={x∈(a,b)|f(x)=0},o(f,+)={x∈o(f)|对充分小正数ε,f(x-ε)＜0,f(x+ε)＞0}.
o(f,--)=o(f,+)∪o(f,-),o(f,＞)={x∈o(f)|对充分小正数ε,f(x-ε)＞0,f(x+ε)＞0},
o(f,＜)={x∈o(f)|对充分小正数ε,f(x-ε)＜0,f(x+ε)＜0},o(f,++)=o(f,＞)∪o(f,＜),
o(f,*,g)=o(f)∩o(fg,*),*∈(+,-,＜,＞,++,--}。
另记f(+,c),f(-,c)表示f(x)在x=c处的右极限与左极限,。
引理2.1 若f,g连续，且o(fg)为有限集，则o(f)=o(f,++)∪o(f,--)=o(f,++,g)∪o(f,--,g)
定理2.1 设f_i均连续，且o(f_0...f_n)为有限集，W(x)=sg(f_0,...,f_n),则
W(+,a)-W(-,b)=∑(|o(f_if_i+1,+)|-|o(f_if_i+1,-)|)
本节记f∽g表示只有有限个x∈(a,b)，使f(x)≠g(x)
引理2.2（1）f∽g则f(±,x)=g(±,x)
（2）若对任何0≤i≤n，只有有限个x∈(a,b)使g_ig_(i+1)≤0，则
sg(f_0,...,f_n)∽sg(g_0f_0,...,g_nf_n),
若对任何0＜i＜n，c∈(a,b)，只要f_i(c）=0，则f_i-1(c）f_i+1(c）＜0，那么称
函数列（1)：f_0,...,f_n为sturm列，其中n≥2.
下面假定f_0,...,f_n均连续，W(x)=sg(f_0,...,f_n).
定理2.2 若序列（1）为sturm列，W(+,a)-W(-,b)=|o(f_0,+,f_1)|+o(f_n,+,f_n-1)|-
|o(f_0,+,f_1)|-|o(f_n,+,f_n-1)|
例2.1求f(x)=asinx+cosx-1在[-π,π]上的互异实根个数。
解：f`(x)=acosx-sinx,令f_1(x)=f`(x)-af(x)=1-(a^2+1)sinx,W(x)=sg(f,f`,f_1)
（1)当a=0时，|o(f)|=1
（2）当a≠0时，f_1明显无重根，f也是，又显然|o(f_1)|=2，f(0)=0,于是
0=W(-π)-W(π)=|o(f)|+|o(f_1,+,f`)|-|o(f_1,-,f`)|，从而|o(f)|=2
引理2.3 记W(x)=sg(f,f`,...，f^(n)),设o(ff`...f^(n))为有限集，则
W(+,a)-W(-,b)=|o(f)|+∑(1≤i≤n-1)(|o(f^(i),++,f^(i-1)|+2|o(f^(i),+,f^(i-1)|-
|o(f^(i))∩o(f^(i-1))|)+|o(f^(n),+,f^(n-1)|-|o(f^(n))∩o(f^(n-1))|)-|o(f^(n),-,f^(n-1)|
例2.2求f(x)=sinx+cosx+x的互异实根个数。
解：易见|o(f)|≥1,f(x)的实根在（-π/2,π/2）上，令W(x)=sg(f,f`,f``),
0=W(-π/2)-W(π/2)≥|o(f)|+|o(f``,+,f`)|-|o(f``,-,f`）|,
由于|o(f``)|=1,于是|o(f)|=1.