解排列组合题型之两千人群高中数学教师分享 138936160

ygy175832584

解排列组合问题基本题型（四题）

例、分别求出符合下列要求的不同排法的种数：
①名学生排排，前排人，中排人，后排人；
②名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
③从名运动员中选出人参加米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；
④人排成一排，甲、乙必须相邻；
⑤人排成一排，甲、乙不相邻；
⑥人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）。
解析：①分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为种。
　　  ②甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有种选法；然后其他人选，有种选法。故排法种数为种。
　　  ③有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为；乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有种选法，其余两棒次不受限制，故有种排法。由分类计数原理，共有种排法。
          ④将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他人一起作全排列，共有种排法。
          ⑤甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的人的左、右及之间的空挡插位，共有（或用人的排列数减去问题④后排列数为）。
          ⑥三人的顺序定，实质是从个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这人，其余人在个位置上全排列，故有排法种。
　　点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻。

例、假设在件产品中有件是次品，从中任意抽取件，求下列抽取方法各多少种？
    ①没有次品；②恰有两件是次品；③至少有两件是次品。
　　解析：①没有次品的抽法就是从件正品中抽取件的抽法，共有种。
         ②恰有2件是次品的抽法就是从件正品中抽取件，并从件次品中抽件的抽法，共有种。
         ③至少有件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从件正品中抽取件，并从件次品中抽取件，有种；第二类从件正品中抽取件，并将件次品全部抽取，有种。按分类计数原理有种。
点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取。应当注意：如果第③题采用先从件次品抽取件（以保证至少有件是次品），再从余下的件产品中任意抽取件的抽法，那么所得结果是种，其结论是错误的。错在“重复”：假设件次品是、、，第一步先抽、，第二步再抽和其余件正品，与第一步先抽、（或、），第二步再抽（或）和其余件正品是同一种抽法，但在算式中算作种不同抽法。



例、已知是集合到集合的映射，
    ①不同的映射有多少个？
    ②若要求则不同的映射有多少个？
解析：确定一个映射，需要确定的像。的象之和为，则加数可能出现多种情况，即有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算。
①中每个元都可选、、三者之一为像，由分步计数原理，共有个不同映射。
　  ②根据对应的像为的个数分为三类：第一类：没有元素的像为，其和又为，必然其像均为，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是，其余三个元素的像必为、、，这样的映射有个；第三类：两个元素的像是，另两个元素的像必为，这样的映射有个。由分类计数原理共有个。
点评：问题①可套用投信模型：封不同的信投入个不同的信箱，有种方法；
      问题②的关键是结合映射概念，恰当确定分类标准，做到不重不漏。

例、四面体的顶点和各棱的中点共个点，
①设一个顶点为，从其他点中取点和在同一平面上，不同的取法有多少种？
②在这点中取个不共面的点，不同的取法有多少种？
解析：①如图，含顶点的四面体的
三个面上，除点外都有个点，从中取
出点必与点共面，共有种取法；
含顶点的棱有条，每条棱上有个点，
它们与所对棱的中点共面，共有种取法。
根据分类计数原理和点共面三点取法共
有种。
②取出的点不共面比取出的点共面的情形要复杂，故采用间接法。先不加限制任取点（种取法）减去4点共面的取法。取出的点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的点取出点共面，有种取法；第二类：每条棱上的个点与所对棱的中点共面，有种取法；第三类：从条棱的中点取个点共面，有种取法。
根据分类计数原理点共面取法共有。故取个点不共面的不同取法有种。
    点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等。