a=122333444455555666666777777788888888999999999 ，求 a^3 除以 11 的余数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

a = 1 22 333 4444 55555 666666 7777777 88888888 999999999

求 a^3 除以 11的餘數 (a的三次方除以11)  

luyuanhong

题  a=122333444455555666666777777788888888999999999 。

    求 a^3 除以 11 的余数。

解  一个正整数除以 11 的余数，等于它奇数位上的数字之和，减去它偶数位上的数字

之和，得到的差值除以 11 的余数。

    a 的奇数位数字之和为

    1+2+3+4+4+5+5+5+6+6+6+7+7+7+8+8+8+8+9+9+9+9+9 = 145 。

    a 的偶数位数字之和为

    2+3+3+4+4+5+5+6+6+6+7+7+7+7+8+8+8+8+9+9+9+9 = 140 。

    两者之差为 145 - 140 = 5 ，除以 11 的余数也是 5 。

    一个正整数 3 次方后除以 11 的余数，等于这个数除以 11 后的余数三次方，

再除以 11 的余数。

    5 的三次方是 5^3 = 125 ，125 除以 11 的余数是 4 。

    所以，a^3 除以 11 的余数是 4 。

数想记

设11=0则10=-1。100=1把a化间得a^3=4