【数论小题征解】有三个整数，其三数之乘积是三数之和的7倍，求这三数各为多少？

trx

有三个整数，其三数之乘积是三数之和的7倍，求这三数各为多少？

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2010/11/01 10:33am 第 3 次编辑]

解:设三整数为x,y,z
则:xyz=7(x+y+z)
①当z=0时显然解为
    [color=#DC143C]x=t,y=-t,z=0,(t∈Z)
②当z≠0时两边同乘以z得:
z^2xy=7zx+7zy+7z^2
整理得:
(zx-7)(zy-7)=49+7z^2
鉴于x,y,z∈Z
不妨就设zx-7=P,
        zy-7=Q
(其中P,Q为49+7z^2的两因数)
故以下为一组通解:
    [color=#DC143C]z=t
    x=(P+7)/t
    y=(Q+7)/t
(其中t,(P+7)/t ,(Q+7)/t必须均为整数)

[color=#0000FF]兹举例如下:
当t=1时,(x-7)(y-7)=56
56的正因数有
56,1;  28,2;  14,4;  8,7;
另有一组负因数,共8组因数
故当t=1时对应解为:
(63,8,1), (35,9,1), (21,11,1),(15,14,1)(此四根对应正因数)
(-49,6,1),(-21,5,1),(-7,3,1),(-1,0,1)  (此四根对应负因数)
         
[color=#DC143C]文字
[color=#0000FF]文字

trx

下面引用由drc2000在 2010/11/01 10:26am 发表的内容：
解xyz=7(x+y+z)
①当z=0时显然解为
    x=t,y=-t,z=0,(t∈Z)
②当z≠0时两边同乘以z得:
...

请drc2000检验其解是否合乎题意！！

drc2000

下面引用由trx在 2010/11/01 00:03pm 发表的内容：
请drc2000检验其解是否合乎题意！！

x=t,y=-t,z=0(t∈Z)
t*(-t)*0=7[t+(-t)+0]
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 drc2000 在 时添加 -=-=-=-=-
这点您没看出来?

trx

drc2000 解之正确，应为真正高手！！