伯克豪夫钻石可约性研究

雷明85639720

伯克豪夫钻石可约性研究
雷  明
（二○一六年九月二十九日）

    伯克豪夫（G•D•Birkhoff）钻石构形如图1所示，有六个围栏顶点a，b，c，d，e，f，四个待着色顶点g，h，j，k。四个待着色顶点中g和j是相邻的，h和k不相邻。若先给h和k着上色时，则由图中的a，h，c，d，k，f和g，j构成的就是（5，5），笔者在《（5,5）不能代替5—轮构形的证明——兼证明（5，5）也是可约的》一文中已经证明（5，5）是可约的，所以本文就只对先给g和j着上色时，剩下的以h和k为中心的两个5—轮构形是否可以4—着色进行计论。

伯克豪夫钻石构形有共有18种色分布，用1，2，3，4表示四种颜色，按围栏顶点a，b，c，d，e，f的顺序排列颜色时，各色分布分别是：121212，131212，321212，121213，231213，141213，241213，231231，131232，241231，141232，121234，131234，231234，141234，241234，321234，341234。共计十八种。
1、121212型（如图2，a），给g着3，j着4，图是分别以h和k为中心的两个5—轮构形。对于以k为中心的5—轮，可能会存在两条交叉的连通链1—3和1—4（如图2，a），从两链的交叉顶点（着色为1）交换1—2链（如图2，b，实际上就是只把交叉顶点的1改成2即可），然后从顶点e交换1—4链，空出1给k着上（如图2，c）；

剩下的以h为中心的5—轮构形也可能会存在两条交叉的连通链2—3和2—4（如图2，d），从两链的交叉顶点（着色为2）交换的1—2链（如图2，e，实际上也是只把交叉顶点的2改成1即可），然后从顶点g交换3—2链，空出3给h着上（如图2，f）。该构形是可约的。
2、131212型（如图3，a），给g着3，j着4，以k为中心的5—轮构形，也可能有两条交叉链1—3和1—4（如图3，b），从交叉顶点交换1—2后，再从顶点e交换1—4，空出1给k着上（如图3，c）；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点只占用了三种颜色1，3，4，把2给h着上即可（如图3，d）。


3、321212型（如图4，a），给g着4，j着3，以k为中心的5—轮构形只可能有连通的1—3链（如图4，b），从g交换1—4，空出4给k着上；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点也只占用了三种颜色1，2，3，把4给h着上即可。
4、121213型（如图5，a），给g着2，j着4，以k为中心的5—轮构形只可能有连通的1—4链（如图5，b），从j交换4—3，空出4给k着上；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点也只占用了三种颜色1，2，3，把4给h着上即可。

5、231213型（如图6，a），给g着1，j着3，以k为中心的5—轮构形轮沿顶点只占用了三种颜色1，2，3，把4给k着上即可（如图6，b）；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点也只占用了三种颜色1，2，3，把4给h着上即可（如图6，b）。

6、141213型（如图7，a），给g着4，j着3，以k为中心的5—轮构只可能有连通的4—1链（如图7，b），从g交换2—4，空出4给k着上（如图7，c）；以h为中心的5—轮构形，也可能有两条相交叉的链4—2和4—3（如图7，d），从交叉顶点k交换1—4链，变成无连通链的坎泊构形（如图7，e），再从g交换2—4，空出2给h着上（如图7，f）。

7、241213型（如图8，a），给g着4，j着3（如图8，b），以k为中心的5—轮构只可能有连通的4—1链（如图8，c），从g交换1—4，空出4给k着上（如图8，d）；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点也只占用了三种颜色1，3，4，把2给h着上即可（如图8，d）。
8、231231型（如图9，a），给g着3，j着4（如图9，b），以k为中心的5—轮构形，也可能有两条相交叉的链1—2和1—4（如图9，c），从交叉顶点c交换1—3链，再从j交换1—4链，空出4给k着上（如图9，d）；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点也只占用了三种颜色1，2，3，把4给h着上即可（如图9，d）。


9、131232型（如图10，a），给g着3，j着4（如图9，b），以k为中心的5—轮构形形轮沿顶点占用了三种颜色2，3，4，把1给k着上即可（如图10，c）；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点也只占用了三种颜色1，3，4，把2给h着上即可（如图10，c）。


10、241231型（如图11，a），给g着3，j着4（如图11，b），以k为中心的5—轮构形，可能有两条相交叉的链1—2和1—4（如图11，b），从交叉顶点（着1色）交换1—3链，再从j交换1—4链，空出4给k着上（如图11，c）；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点也只占用了三种颜色1，3，4，把2给h着上即可（如图11，c）。
11、141232型（如图12，a），给g着3，j着4（如图12，b），以k为中心的5—轮构形轮沿顶点只占用了三种颜色2，3，4，把1给k着上即可（如图12，b）；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点也只占用了三种颜色1，3，4，把2给h着上即可（如图11，b ）。

12、121234型（如图13，a），给g着2，j着3（如图13，b），以k为中心的5—轮构形轮沿顶点也占用了三种颜色2，3，4，把1给k着上即可（如图13，b）；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点也只占用了三种颜色1，2，3，把4给h着上即可（如图13，b ）。

13、131234型（如图14，a），给g着2，j着3（如图14，b），以k为中心的5—轮构形轮沿顶点也占用了三种颜色2，3，4，把1给k着上即可（如图14，b）；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点也只占用了三种颜色1，2，3，把4给h着上即可（如图14，b ）。


14、231234型（如图15，a），给g着3，j着4（如图15，b），以k为中心的5—轮构形轮沿顶点也占用了三种颜色2，3，4，把1给k着上即可（如图15，b）；以h为中心的5—轮构，可能有两条相交叉的链2—1和2—4（如图15，c），从交叉顶点d交换2—3链（如图15，d），再从j交换2—4链，空出4给h着上（如图15，e）。
15、141234型（如图16，a），给g着2，j着3（如图16，b），以k为中心的5—轮构形轮沿顶点也占用了三种颜色2，3，4，把1给k着上即可（如图15，b）；以h为中心的5—轮构，只可能有一条连通的2—4链，从顶点j交换3—4链（如图16，c），空出3给h着上（如图16，c）。


16、241234型（如图17，a），给g着1，j着3（如图17，b），以k为中心的5—轮构形，可能有两条相交叉的链2—1和2—4（如图17，b），从交叉顶点a交换2—3链（如图17，c），再从g交换1—2链，空出1给h着上（如图17，d）；以h为中心的5—轮构，已有一条连通的1—2链（如图17，d），从顶点g交换2—4链，空出2给h着上（如图17，e）。

17、321234型（如图18，a），给g着1，j着3（如图18，b），以k为中心的5—轮构形，只可能有一条连通链2—4（如图18，b），从顶点g交换1—2链，空出1给k着上（如图18，c）；以h为中心的5—轮构形轮沿顶点已占用了三种颜色1，2，4，把4给k着上即可（如图18，c）。
18、341234型（如图19，a），给g着1，j着3（如图19，b），以k为中心的5—轮构形，只可能有一条连通链2—4（如图19，b），从顶点g交换1—2链，空出1给k着上（如图19，c）；以h为中心的5—轮构形，已有一条连通的1—2链，从顶点b交换2—4链，空出了4给h着上（如图19，d）。
以上我们对伯克豪夫钻石围栏的十八种色分布进行了分析，证明了该构形在以上十八种情况下都是可约的。该构形的色分布道底有多少种，也没有进行计算过，即就是计算了，一个个都列示出来，也是没有用，太多了也是分析不过来的。但至少这十八种色分布中不存在象121212和343434这样的明显重复，而对于有没有象121234和121243这样的隐弊重复，也可能就难免了。

但伯克豪夫钻石的围栏色分布再多，也总是有限的。只要是有限的，当然是一定可以分析完的。这就是需要计算机帮助人来完成的工作。计算机虽然可以对一个个的具体构形进行分析，证明其是否可约，但不能把无穷多的构形都分析完，所以说计算机即就是证明了的可约构形再多，最终还是不能证明四色猜测是否是正确的。
本文只是一个分析构形是否可约的思路，计算机都不可能把所有的构形都分析完，当然人也是不可能把所有的构形都分析完的。最终还得要用不是具体的构形进行分析，证明所有任何的构形都是否可约的问题。这就不可能让计算机去完成了，因为这是一个罗辑思维的过程，而思维功能只是人脑才具备的，任何工具都是不能代替人脑的。
本人还想就这方面再写一篇文章来专门如何用非具体的构形来证明任何构形都是可约的问题。以上我们究过的（5，5）和伯克豪夫钻石都是具体的构形，它们的围栏顶点数是有限的，也决定了他们的围栏色分布种类也是有限的，而不能代替无限多种多样的所有构形。

雷  明
二○一六年九月三十日于长安

注：此文已于二○一六年九月三十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

塞上平常心

国庆快乐！

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