[原创]八个连续的正整数,它们分别是2,3,5,7,11,13,17,19的倍数,求最小的这八个数.

wangyangkee

由楼主问题和陆老师的演示而引发的胡思乱想，不知正确与否；胡思乱想即：
    对于任意给定的若干个有序排列素数，在正整数中，对应存在无限组同序排列的连续的正整数，一一对应的，同序排列的正整数是有序排列的素数的陪数；

luyuanhong

下面引用由wangyangkee在 2010/11/06 10:03am 发表的内容：
由楼主问题和陆老师的演示而引发的胡思乱想，不知正确与否；胡思乱想即：
    对于任意给定的若干个有序排列素数，在正整数中，对应存在无限组同序排列的连续的正整数，一一对应的，同序排列的正整数是有序排列　...

楼上 wangyangkee 的想法很有道理，可以证明如下：

drc2000

八个连续的正整数,它们分别是2,3,5,7,11,13,17,19的倍数,求最小的这八个数.
    今天晚上,看到网友发的一道题目:"四个连续的正整数,它们分别是11,13,17,19的倍数,求最小的这四个数"
    题目不算太难,但是运算有点烦.答案是4367,4368,4369,4370.若求通解,只要在上述四个数后面加上11,13,17,19的最小公倍数的k倍,也就是加上46189k.(其中k∈Z,以下字母均为整数)
    由此想到题目若是"简化"一下,会怎样呢.于是,我就又开始做这道题了:"4个连续的正整数,它们分别是2,3,5,7的倍数,求最小的这四个数".这道题目做起来很快,答案很快就得出来了:158,159,160,161,(通解需加210k),解题的过程没什么值得一说.
    下面考虑网友的这道题目.事实上:
        若11a,13b是连续的两正整数,
有:13b-11a=1,
既:2b+11(a-b)=1
可求出一特解:b=6,b-a=-1
所以:a=7,b=6
故通解为:77+143k,78+143k
        若17c,19d是连续的两正整数,
有:19d-17c=1,
既:2c+17(d-c)=1
可求出一特解:c=9,d-c=-1
所以:d=9,c=10
故通解为:170+323l,171+323l
        鉴于13b,17c是连续的两正整数,
所以170+323l)-(78+143k)=1
既:323l+91=11×13k
所以:323l=13(11k-7)
既11×33-7)l=(11k-7)×13
由此得一特解:l=13,k=33
此时通解为:4639+46189m
         综上所述:四个连续的正整数,它们分别是11,13,17,19的倍数,求得最小解4367,4368,4369,4370.通解为:
4367+46189m,
4368+46189m,
4369+46189m,
4370+46189m.


    对于八个连续的正整数的情形,只需要解下面的不定方程:
(4367+46189m)-(161+210k)=1
上面的方程整理得:5(42k-841)=46189m
所以m必须是5的倍数
设m=5x
化简得:42k-841=46189x
整理成:42(1100x-k+20)=11x-1
再令:y=1100x-k+20
得到:11x-42y=1
既:11(x-4y)+2y=1
令:x-4y=1,y=-5
所以:x=-19
所以m=-95
这样得到第5个数为:4367+46189×(-95)
改取整数为:2×3×5×7×11×13×17×19+4367+46189×(-95)
=5316102
所以,所求八个数为:
5316098 ( =  2 * 2658049)
5316099 ( =  3 * 1772033)
5316100 ( =  5 * 1063220)
5316101 ( =  7 * 759443)
5316102 ( = 11 * 483282)
5316103 ( = 13 * 408931)
5316104 ( = 17 * 312712)
5316105 ( = 19 * 279795)
    最后的结果是五百多万的数字,算起来真累,计算过程中,我不小心弄错了一个正负号,查了7,8遍,总是没找出来...,开始我是在电脑上做题目,做不对结果.于是我只好开始在纸上推算...
    做一道题目很累,但是做出来后的喜悦,真是无法言表.这正是数学的魅力所在.   

ysr

解题方法很重要，32楼的证明很精彩，若此命题变为：这一组连续n个整数必须小于等于Pn^2,且试除因子Pn的商值必须大于等于试除因子，还能否找到这样的一组连续整数吗？这与素数分布有关，希望感兴趣者探讨

ysr

若此命题变为：这一组连续n个整数必须小于等于Pn^2,且试除因子Pn的商值必须大于等于试除因子，还能否找到这样的一组连续整数吗？
证：用反证法，设素数数列：3，5，7，11，13，……，P为N项有限数列，依次乘以3，5，7，11，13，……，P，则得到9，25，49，121，169，……，P^2,该数列各项小于等于P^2，商值等于试除因子，但不是连续整数，这是满足条件的最小一组数，故不能找到这样的一组数，这是素数无穷多的一个充分但不必要的条件