m＜n 为整数，(m+1/2)^2+n^2≤1971.25 ，求 3m+4n 的最大值，以及取到最大值时的 m,n

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

(m + 1/2)^2 + n^2 ≦ 1971.25

m<n 且皆為整數,  求 3m+4n 最大值? 且 最大時的 m,n ?

請問這個怎麼求? (有個提示是說用三角代換)

ans:  m=24, n=37,  最大值220

王守恩

还有一组解:3*28+4*34=220。m<n条件是多余的。

天山草

原不等式等价于 m^2+m+n^2<1971
用 VB4 编程如下：
Private Sub form_Click()
     For m = 1 To 50
       For n = 1 To 50
       If  m * m + n * n + m <= 1971 And m * m + n * n + m > 1950 And m < n Then
       Print m; "  "; n; "  "; m * m + n * n + m; "   "; 3 * m + 4 * n      
       End If
     Next n
     Next m
     End Sub

运行结果是：
m      n     m^2+m+n^2      3m+4n
---------------------------------------------------
4     44           1956             188
5     44           1966             191
10    43          1959             202
16    41          1953             212
24    37          1969             220
28    34          1968             220
29    33          1959             219
30    32          1954             218
--------------------------------------------------------
可见有两个解，m=24,  n=37,  3m+4n=220.
                     m=28,  n=34,  3m+4n=220.

luyuanhong

谢谢楼上 天山草 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong