证明算术-几何平均值不等式

luyuanhong

天山草

用重心概念证明算术平均大于等于几何平均。
在自然对数曲线上放置 n 个质点，其质量分别为 m1, m2, m3, ……，mn，这些质点的横坐标分别为 x1, x2, x3, ……，xn。
假定这些质点的重心为G，那么 G 点的横坐标 XG 和纵坐标 YG 都可以算出（见下图）。对于 G 点的横坐标 XG，相应的对数曲线的纵坐标为 YA，由于该曲线为凸曲线，所以 YA≥YG。由此就可推出算术平均大于等于几何平均的结论。具体证明过程见下图：

天山草

当这些质点放在曲线的同一个点上时，也就是当 X1=X2=X3=……=Xn 时，G 点与 A 点重合，此时等号成立。

天山草

如果把曲线换成 x 的平方根函数，可以证明：
若干个正数的算术平方平均值大于等于它们的算术平均值的平方。见下图：

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。