[求助]常微分方程及其解

开心辞典

如果知道一个微分方程的解集，能否根据这些解的分布特点推导出该微分方程？我对微分方程是外行，可能表述也不是很确切，请各位大牛帮忙，先谢谢了。

木直清风

也不发表到基础数学栏目去,真是的,可以的,至少简单的一两阶的方程可以,有空再举些例子.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 木直清风 在 时添加 -=-=-=-=-
不过微分方程也是重要建模手段之一,对于离散的量确实有难度,

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/08/05 07:39am 第 3 次编辑]

这个问题很有意思，我的解答如下：

开心辞典

谢谢楼上的热心解答。。。不过我现在的情况是，不是直接知道微分方程的通解，而是知道微分方程的一系列特解，就是知道一堆数据点（可能有偏差）。。。那么该怎么做呢？可以通过一堆数据点得出一个通解么？

开心辞典

to 2楼，不好意思，第一次发帖，不知道该发到哪个版面。我是想通过一堆数据建立个微分方程（组）出来，所以就发到建模版了。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/25 07:38am 第 1 次编辑]

如果你只是有一批自变量和因变量的实际观测数据，要想得到一个表达自变量与因变量关系的微分方程，那是很困难的。
从一批实际观测数据出发，我们只能做这样一些事情：
（一）首先，根据对实际数据的观察（比如可以作数据的散点图），我们可以猜想出自变量与因变量大致满足的函数关系，
然后写出这个函数关系式，只是其中有一些未知的参数。例如，我们看到 x 与 y 的观测数据大致成一条抛物线的形状，
我们就可以设想，x 与 y 的函数关系是二次函数 y=ax^2+bx+c 的形式，其中 a,b,c 是未知的参数。
我们可以用数学方法求出这些未知的参数，使得函数式与实际观测数据尽可能接近（不可能完全符合，因为观测数据有误差）。
这种求未知参数的估计的方法，称为“回归分析”，现在已经有很多可以作回归分析的现成的数学软件。
（二）有时候，我们写不出自变量与因变量之间的函数关系，但是，根据问题的实际意义，或参考别人的研究，或参考文献，
我们可以写出自变量与因变量大致应该满足的微分方程，只是其中有一些未知的参数。例如，我们可以根据问题的实际意义，
列出 x 与 y 应该满足的微分方程形式是 dy/dx=ax^2+bxy+cy^2 ，其中 a,b,c 是未知的参数。
这样的微分方程，往往无法求出它的函数形式的解，但是，我们也可以用数学方法，从自变量和因变量的实际观测数据出发，
直接求出微分方程中未知参数的估计，当然，这时我们的做法，就要比前面所说的函数式的“回归分析”困难得多了。