请看一下用"二分法无限分割"得到的有理数集合是否与实数集合对等?

门外汉

下面引用由luyuanhong在 2010/11/14 02:14pm 发表的内容：
对。从一个集合中取出一些元素，组成一个序列，这个序列的极限，不一定在这个集合中。
例如，所有形为 1/n 的数组成一个集合 { 1/n | n=1,2,3,… } ，当 n→∞ 时，1/n→0 ，
极限 0 并不在集合 { 1/n | n=1,2,3 ...

陆教授的这个解释,正是说明0.999......=1是正确的.

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2010/11/14 02:10pm 发表的内容：
你将无限与有限完全的割裂?二者之间没有任何的联系?
如果你是这样的观点,即是潜无穷的观点.
因为按照你的观点,{1,2,3,4.......n}不能构成集合.

你（门外汉），难道还不清楚：所有、全部
{1,2,3,4.......n}，别人是作为【有限】的，并不是所有

门外汉

不想和你讨论什么实无穷潜无穷的问题,因为这个问题恐怕已经被前人讨论了两千多年了,就算是我再和你讨论一千年,恐怕也讨论不出来什么结果.
我只想让陆教授证实一下我在29楼中的证明是否正确.

ygq的马甲

所以用二分法无限分割的方法在取极限的情况下所得到的集合必为可数无穷集.

只是可数的一部分，早就明确了的

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/11/14 11:42pm 第 3 次编辑]

下面引用由门外汉在 2010/11/14 05:44pm 发表的内容：
不想和你讨论什么实无穷潜无穷的问题,因为这个问题恐怕已经被前人讨论了两千多年了,就算是我再和你讨论一千年,恐怕也讨论不出来什么结果.
我只想让陆教授证实一下我在29楼中的证明是否正确.

    我觉得，你首先要说清楚，你说的“用二分法无限分割不能得到全体实数”中的“得到”，
到底是什么意思。
    下面是我代你设想的两种对于“得到”的理解：

第一种理解：作一次二分法分割，比如说，把 [0,1] 分割成 [0,1/2),[1/2,1] ，这样一次
分割，对应于一个分割点 1/2 ，这个分割点 1/2 ，就是我们得到的一个实数。
    按照这样的理解，用二分法一次又一次分割下去，得到的分割点，也就是得到的实数有：
        1/2 ，1/4 ，3/4 ，1/8 ，3/8 ，5/8 ，7/8 ，……
在这样得到的实数的集合中，不可能包括像 1/3 这样的实数，所以，按照这样的理解，应该
说：“用二分法无限分割不能得到全体实数”。

第二种理解：作一次二分法分割，可以把 [0,1] 分割成 [0,1/2),[1/2,1] 两个区间，继续作
分割，又可以分成更小的四个区间 [0,1/4),[1/4,1/2),[1/2,3/4),[3/4,1]，……，这样一直
做下去，区间越分越多，区间越分越小。对于 [0,1] 中的任何一个实数，如果可以找到一系列
越来越小的区间，把这个实数套在这一系列区间中，就认为我们得到了这个实数。
    比如说实数 1/3 ，我们可以找到这样一系列越来越小的区间，把 1/3 套在其中：
        [0,1/2) , [1/4,1/2) ，[1/4,3/8) , [5/16,3/8) , [5/16,11/32) ,……

这时，就可以认为，我们已经得到了 1/3 这个数。
    又比如说实数 1/2 ，我们可以找到这样一系列越来越小的区间，把 1/2 套在其中：
        [1/2，1] , [1/2,3/4) ，[1/2,5/8) , [1/2,9/16) , [1/2,17/32) ,……

这时，就可以认为，我们已经得到了 1/2 这个数。
    由于在 [0,1] 中的任何一个实数，总是可以找到一系列越来越小的区间，把这个实数套在
其中，所以，按照这样的理解，应该说：“用二分法无限分割能够得到 [0,1] 中的全体实数”。
    不知道你说的“得到”是怎样理解的？是上面所说第一种？还是上面所说的第二种？还是
不同于上面的另外第三种？

门外汉

陆教授:我说的是第一种的理解.
也就是将分割所得到的具体数值纳入到同一个集合之中.
您说的第二种方法好象是不能将所得到的具体数值纳入到同一个集合之中.例如:1/3这个数就不能纳入到这个集合之中.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
也就是说:将分割点的数值纳入到同一个集合之中,如:分割点是1/2,就将1/2纳入到集合之中.

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2010/11/17 09:17am 第 1 次编辑]

下面引用由门外汉在 2010/11/14 11:59pm 发表的内容：
陆教授:我说的是第一种的理解.
也就是将分割所得到的具体数值纳入到同一个集合之中.
您说的第二种方法好象是不能将所得到的具体数值纳入到同一个集合之中.例如:1/3这个数就不能纳入到这个集合之中.-=-=-=-=- 以　...

第一种的理解得到的2^n，指的是二分法后所分线段的长度为1/2^n，并不是这种方法可以得到2^n个实数值。
这种分法得到的实数个数仍然是n个（当n→∞时，为可数个）。