单位分数猜想

追梦欧德斯

全部自然数就是可以分成4类，怎么你搞成6类了？被4整除，除4余1，除4余2，除4余3，这个都验证了n在十万亿内都成立了，我让我怎么举反例，但我总结了真分数分拆成三个单位分数之和的充要条件，并给出了证明。

追梦欧德斯

求1/n=1/x+1/y 有多少组解，这个问题不难啊，这么多年，你解决了吗？
没解决我可以说说我的方法

追梦欧德斯

追梦欧德斯 发表于 2023-11-27 10:42
求1/n=1/x+1/y 有多少组解，这个问题不难啊，这么多年，你解决了吗？
没解决我可以说说我的方法

4/n、5/n、7/n分拆成三个单位分数之和都可以通过分类写通项公式缩小范围，例如5/n我就在1（mod1260）的基础上继续分类，可以分到上百万就验证一个数，当然还可以继续归类，范围可以扩大到亿、十亿。。。。，但也并不能代表针对所有自然数猜想成立，所以明白真分数分拆成三个单位分数之和的充要条件之后，就会明白为什么猜想不能通过分类证明

王守恩

我先把资料整理一下。

OEIS--A004194。1/n = 1/x + 1/y + 1/z
3, 10, 21, 28, 36, 57, 42, 70, 79, 96, 62, 160, 59, 136, 196, 128, 73, 211, 80, 292, 245, 157, 93,366,156,
174, 230, 340, 106, 497, 90, 269, 322, 211, 453, 538, 85, 216, 378, 604, 121,  623, 104, 473, 648, 204,
135, 706, 227, 437, 387, 467, 125, 601, 561, 783,385, 252, 172, 1290, 108, 273, 887,442,586,753,121,
555, 478, 1054, 161, 1166, 118, 288, 869, 561, 705, 843, 147, 1178, 465, 297, 190,1687,599, 288,501,

OEIS--A226641。2/n = 1/x + 1/y + 1/z                
1, 3, 8, 10, 12, 21, 17, 28, 26, 36, 25, 57, 20, 42, 81, 70, 25, 79, 32, 96, 86, 62, 42, 160, 53, 59, 89, 136,
33, 196, 37, 128, 103, 73, 185, 211, 32, 80, 160, 292, 40, 245, 40, 157, 235, 93,  60, 366, 85, 156, 147,
174, 42, 230, 223, 340, 143, 106, 76, 497, 34, 90, 331, 269, 206, 322, 50, 211, 175, 453, 72,538,37,85,
332, 216, 260, 378, 69, 604, 167, 121, 79, 623, 204, 104, 203, 473, 59, 648, 253,204,166,135,318,706,

OEIS--A226642。3/n=1/x+1/y+1/z 。
1, 3, 3, 6, 10, 10, 9, 20, 21, 21, 16, 28, 11, 33, 36, 31, 24, 57, 11, 68, 42, 35, 23, 70, 37, 51, 79,76,30,96,
17, 65, 62, 50, 138, 160, 18, 51, 59, 142, 34, 136, 24, 140, 196, 46, 32, 128, 43, 98, 73,111,46,211,111,
192, 80, 63, 46, 292, 24, 81, 245, 93, 153, 157, 26, 130, 93, 271, 61, 366, 24, 71, 156, 118,173, 174,29,
330, 230, 69, 47, 340, 145, 74, 106, 268, 72, 497, 126, 140, 90, 63, 184, 269, 34, 184, 322,258,41,211,

OEIS--A192787。4/n = 1/x + 1/y + 1/z 。
0, 1, 3, 3, 2, 8, 7, 10, 6, 12, 9, 21, 4, 17, 39, 28, 4, 26, 11, 36, 29, 25, 21, 57, 10, 20, 29, 42, 7, 81, 19,70,
31, 25, 65, 79, 9, 32, 73, 96, 7, 86, 14, 62, 93, 42, 34, 160, 18, 53, 52, 59, 13, 89, 98, 136,41,33,27,196,
11, 37, 155, 128, 49, 103, 17, 73, 55, 185, 40, 211, 7, 32, 129, 80, 97, 160, 37, 292, 46, 40, 27, 245, 68,
40, 93, 157, 10, 235, 94, 93, 71, 60, 165, 366, 8, 85, 147, 156, 16, 147, 27, 174, 264, 42,25,230,15,223,

OEIS--A226644。5/n = 1/x + 1/y + 1/z 。真分数 5/n=1/x+1/y+1/z 都有解。
0, 1, 2, 4, 3, 4, 4, 7, 12, 10, 3, 17, 6, 21, 21, 12, 6, 26, 13, 28, 22, 18, 9, 61, 36, 18, 24, 48, 22, 57, 5, 27,
38, 26, 42, 60, 11, 24, 56, 70, 6, 71, 13, 79, 79, 19, 12, 99, 41, 96, 38, 55, 12, 84, 62, 86, 50, 41,36,160,
6, 26, 104, 57, 59, 76, 16, 71, 74, 136, 12, 158, 22, 60, 196, 52, 65, 103, 25, 128, 46, 30, 15, 224,73,32,
58, 141, 38, 211, 71, 67, 59, 41, 80, 151, 24, 97, 222, 292, 13, 118, 25, 188, 245, 28, 18,185,27,157,56,

OEIS--A226645        6/n = 1/x + 1/y + 1/z 。真分数 6/n=1/x+1/y+1/z 都有解？               
0, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 6, 8, 10, 7, 10, 1, 9, 12, 20, 8, 21, 2, 21, 17, 16, 11, 28, 7, 11, 26, 33, 9, 36, 3,31,25,24,
60, 57, 2, 11, 20, 68, 10, 42, 6, 35, 81, 23, 15, 70, 10, 37, 25, 51, 14, 79, 33, 76, 32, 30, 20, 96, 2,17,86,
65, 48, 62, 9, 50, 42, 138, 35, 160, 2, 18, 53, 51, 52, 59, 8, 142, 89, 34, 23, 136, 37, 24, 33, 140,23,196,
30, 46, 37, 32, 75, 128, 5, 43, 103, 98, 10, 73, 7, 111, 185, 46, 34, 211, 7, 111, 32,192,17,80,54,63,160,

OEIS还没有。7/n=1/x+1/y+1/z 。真分数 7/n=1/x+1/y+1/z 有无解？
{0, 0, 1, 1, 2, 7, 3, 2, 3, 5, 2, 13, 8, 10, 9, 5, 4, 14, 6, 35, 21, 5, 3, 25, 11, 15, 28, 28, 2, 31,7,16,29,22,36,
33, 4, 14, 25, 60, 22, 57, 1, 22, 44, 12, 8, 80, 42, 25, 19, 30, 7, 55, 61, 70, 19, 11, 8,105,13,32,79,23,35,
61, 8, 52, 62, 96, 4, 73, 10, 16, 66, 59, 62, 62, 6, 98, 42, 36, 34, 160, 32, 8, 28, 56, 13, 172,59,31,26,22,
47, 123, 26, 136, 69, 86, 16, 91, 17, 152, 196, 13, 8, 109, 9, 113, 69, 128, 6, 65, 51,41,95,30,73,201,21,

OEIS还没有。8/n=1/x+1/y+1/z 。真分数 8/n=1/x+1/y+1/z 有无解。
{0, 0, 0, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 0, 8, 3, 7, 19, 10, 0, 6, 2, 12, 10, 9, 7, 21, 3, 4, 6, 17, 4, 39, 12, 28, 5, 4, 13, 26,
6, 11, 26, 36, 3, 29, 3, 25, 42, 21, 19, 57, 7, 10, 9, 20, 6, 29, 33, 42, 9, 7, 2, 81, 8, 19, 85, 70, 17,31,4,25,
22, 65, 16, 79, 2, 9, 45, 32, 38, 73, 20, 96, 10, 7, 3, 86, 26, 14, 36, 62, 5, 93, 37, 42, 39, 34, 93,160,4,18,
30, 53, 8, 52, 10, 59, 96, 13, 3, 89, 12, 98, 60, 136, 1, 41, 30, 33, 64, 27, 75, 196, 2, 11, 18, 37, 30, 155,

OEIS 还没有。9/n=1/x+1/y+1/z 。真分数 9/n=1/x+1/y+1/z 有无解。
{0, 0, 1, 1, 0, 3, 2, 5, 3, 2, 0, 6, 2, 4, 10, 7, 7, 10, 0, 9, 9, 4, 2, 20, 9, 17, 21, 10, 1, 21, 4, 10, 16, 12,34,28,
1, 5, 11, 25, 1, 33, 7, 34, 36, 7, 3, 31, 12, 19, 24, 33, 19, 57, 15, 29, 11, 6, 2, 68, 5, 20, 42,16,20,35,7,24,
23, 60, 17, 70, 1, 5, 37, 26, 33, 51, 12, 109, 79, 7, 4, 76, 28, 14, 30, 65, 22, 96, 23, 20, 17,11,21,65,8,46,
62, 55, 6, 50, 9, 59, 138, 34, 31, 160, 2, 48, 18, 61, 1, 51, 31, 34, 59, 11, 31, 142, 14, 15, 34, 41,50,136,

11-10000穷举了一下，m={11, 43, 61, 67, 181}时,真分数 10/m=1/x+1/y+1/z 无解。

12-10000穷举了一下，m=37时,真分数 11/m=1/x+1/y+1/z 无解。

追梦欧德斯

8/17=1/ x+1/ y+1/ z，无整数解，9/19=1/ x+1/ y+1/z，无整数解

蔡家雄

题目:  4/m=1/x+1/y+1/z,   其中m,x,y,z均为正整数。
换一条路试试：我们约定x是x,y,z三个数中最小的一个, 即x≤y≤z,
x={m/4+0,m/4+1,m/4+2,m/4+3,m/4+4,m/4+5}, x只要取遍这6个数, 肯定有解。
您能举一个反例出来？

m=118801,  m/4=29700,  x=29700+15

王守恩

把24#资料整理一下。往大的方向走，先解决“有解”“无解”问题。

1--OEIS--A004194。1/n=1/x+1/y+1/z。通解公式: 1/(n-1)=1/(n+1)+1/(n(n-1))+1/(n(n+1))

2--OEIS--A226641。2/n=1/x+1/y+1/z。通解公式: 2/n=1/n+1/(n+1)+1/(n(n+1))               

3--OEIS--A226642。3/n=1/x+1/y+1/z。通解公式: 3/n=1/n+1/n+1/n

4--OEIS--A192787。4/n=1/x+1/y+1/z。

5--OEIS--A226644。5/n=1/x+1/y+1/z。真分数 5/n=1/x+1/y+1/z 都有解。

6--OEIS--A226645。6/n=1/x+1/y+1/z。真分数 6/n=1/x+1/y+1/z 都有解？               

7--OEIS还没有。7/n=1/x+1/y+1/z。真分数 7/n=1/x+1/y+1/z 有无解？

8--OEIS还没有。8/n=1/x+1/y+1/z。真分数 8/n=1/x+1/y+1/z 有无解。
谢谢 追梦欧德斯: 8/17=1/ x+1/ y+1/ z，无整数解。

9--OEIS 还没有。9/n=1/x+1/y+1/z。真分数 9/n=1/x+1/y+1/z 有无解。
谢谢 追梦欧德斯: 9/19=1/ x+1/ y+1/z，无整数解。

10--OEIS 还没有。10/n=1/x+1/y+1/z。真分数 9/n=1/x+1/y+1/z 有无解。
谢谢 Treenewbee: 11-10000穷举了一下, m={11,43,61,67,181}时, 真分数 10/m=1/x+1/y+1/z 无解。

11--OEIS 还没有。11/n=1/x+1/y+1/z。真分数 9/n=1/x+1/y+1/z 有无解。
谢谢 Treenewbee: 12-10000穷举了一下，m=37时,真分数 11/m=1/x+1/y+1/z 无解。

12--真分数 12,13,14,15,.../m=1/x+1/y+1/z 均应该无解？