[讨论] 陆教授的应该再次阐述《点中有点论》

顽石

陆教授的应该再次阐述《点中有点论》
陆元鸿教授说了如下的两段话：
（1）“在数轴O点的正下方取一点P，以P为圆心、以PO为半径作一个半圆弧，将数轴上的各点与P点连接，连线与半圆弧的交点，就是数轴上的点在半圆弧上的投影。这样，我们就把整个数轴投影到了半圆弧上。
不仅如此，我们发现，在这个半圆弧的左端点处，聚集了超实数中的全部【负无穷大量】；在这个半圆弧的右端点处，聚集了超实数中的全部【正无穷大量】。利用“无穷大望远镜”，还可以把圆弧左端点和右端点放大，使我们能够看清楚一个一个具体的无穷大量。（并且补充解释：另外圆弧的“真正的绝对的端点”并不与任何数对应。）”
（2）“图像中有一些点与数字对应，图像中有一些点（圆弧的“真正的绝对的端点”）不与任何数对应。
这有什么不可以呢？
举例来说，假如有人给出一种实数域的图像表示方法：
   作一个圆周，圆周顶上的一点，是 0 点。
   0 点左侧圆弧上的点，对应于负实数。
   0 点右侧圆弧上的点，对应于正实数。
   圆周底部的左右两侧圆弧相会的那一点，规定它不与任何实数对应。
你想想，这样的显示方法是不是完全可以的？
   既然上面这种实数域的显示方法是可以的，没有任何问题的，那么，我给出的超实数域
的显示方法当然也是可以的，没有任何问题的”
陆教授的（1）话与（2）话，两段话都有问题：
在（1）话中，半圆弧左右两个端点，都在“整个数轴投影到了半圆弧上”之外。左端点处聚集了超实数中的全部【负无穷大量】；右端点处聚集了超实数中的全部【正无穷大量】。一个点包含无穷多个点吗？！点中有点吗？！
在（2）话中，圆周底部的左右两侧圆弧相会的那一点，规定它不与任何实数对应。陆教授的意思是与无穷多个正、负超实数对应到一个点。而在郑正亚 屈善哉 黄振云 黎笃熊合著的《数林拾零》书上也指：“无穷远处点‘+∞’与‘-∞’必须重合于同一点‘∞’，故在射影几何中一直线上的无穷远处只有一个”。一个点可以代表两个点或者无穷多个点吗？！
陆教授还说过“点有两种，0长度的点和无穷小长度的点”。
顽石整理上述的【点中有点论】说法：
1）一个点是包含两个点：【直线上两个无穷远处的点交合为一个点】、【无穷远处点‘+∞’与‘-∞’必须重合于同一点‘∞’】。
2）一个点是包含无穷多个点：【点有两种，0长度的点和非0的无穷小长度的点，而无穷小长度仍然可以作无穷分割，因此无穷小的点包含无穷多个0长度的点】、【弧的左右端点处，各聚集了超实数中的全部负、正无穷大量】（顽石猜测：左端点处，右端点处，两者应该都指无穷小的点；负无穷大量、正无穷大量，都不是指无穷大长度的点，应该是指无穷小长度的点，或者是指0长度的点。陆教授应该进一步阐明）。
那么，线段的长度从何而来？三种选择：是0长度的点组成？是无穷小长度的点组成？是两种点混合组成？

顽石

陆教授还说过：0点处聚集了全部的【负无穷小量】和【正无穷小量】。
无穷大长度的直线，通过射影几何一一对应的方法，变成一个中间为0，左、右两端分别为负、正无穷大量的半圆，再作无穷多个垂直线，使半圆中的所有的点，一一对应到半圆的直径上，无穷大长度的直线，就变成一个数轴。这样说来，数轴上就有7类的点：
（1）0点
（2）负实数点
（3）正实数点
（4）负无穷小量点
（5）正无穷小量点
（6）负无穷大量点
（7）正无穷大量点
这个数轴的长度从何而来？！上述这些点是不是都有长度？还是都没有长度？还是0长度和非0长度的混合体？线段怎么由无穷多个点组成？！请陆教授详细谈谈！

luyuanhong

下面引用由顽石在 2010/11/21 03:24pm 发表的内容：
陆教授的应该再次阐述《点中有点论》
陆元鸿教授说了如下的两段话：
（1）“在数轴O点的正下方取一点P，以P为圆心、以PO为半径作一个半圆弧，将数轴上的各点与P点连接，连线与半圆弧的交点，就是数轴上的点在半　...

    我过去帖子中说过的那些话，都是从非标准分析的观点出发来说的。
    非标准分析与标准分析，是两种不同的观点。两种观点，没有“谁对谁错”的问题。
我们可以接受标准分析的观点，按照标准分析的观点来讨论问题。我们也可以接受非标
准分析的观点，按照非标准分析的观点来讨论问题。
    所以，顽石先生想要与我讨论，首先要明确一个问题：
    你是不是愿意接受非标准分析的观点？是不是愿意按非标准分析的观点来讨论问题？
    非标准分析的出发点和基本思想是：

    存在一个“无穷单位元（Infinity Unit）”Ω ，它满足：
（1）Ω 具有正整数（除了与下面（2）矛盾的以外）的一切性质，可以像一个正整数那
样与其他的数比较大小，可以像一个正整数那样进行各种运算，服从同样的运算法则。
（2）Ω 大于任何实数。

    现在的问题就是：
    请问顽石先生，你是不是愿意接受这样的观点？是不是承认有这样的 Ω 存在？
如果你不愿意接受，也就是说，你是按照标准分析的观点看问题，那我们就没有什么
可以继续讨论了。如果你愿意接受非标准分析的观点，愿意承认有这样的 Ω 存在，
那么我们可以继续讨论下去。

顽石

下面引用由顽石在 2010/11/22 08:22am 发表的内容： 陆教授还说过：0点处聚集了全部的【负无穷小量】和【正无穷小量】。
无穷大长度的直线，通过射影几何一一对应的方法，变成一个中间为0，左、右两端分别为负、正无穷大量的半圆，再作无穷多个垂直线，使半圆中 ...

数学基础理论，【线段由无穷多个点组成，线段的长度从何而来？】问题，应该遵循什么？ 陆教授不作具体回答，而只是如此说：“非标准分析与标准分析，是两种不同的观点。两种观点，没有‘谁对谁错’的问题。我们可以接受标准分析的观点，按照标准分析的观点来讨论问题。我们也可以接受非标准分析的观点，按照非标准分析的观点来讨论问题。”回答确实非常妙！ 人世间有没有鬼？按照【标准分析】的说法，没有鬼。按照【非标准分析】，有鬼。“非标准分析与标准分析，是两种不同的观点。两种观点，没有‘谁对谁错’的问题。我们可以接受标准分析的观点，按照标准分析的观点来讨论问题。我们也可以接受非标准分析的观点，按照非标准分析的观点来讨论问题。” 科学与佛教，和谐相处，有什么不好呢？！ 两种观点都正确，有什么可以争论的呢？！

simpley

我并不认为陆教授回答的妙.这不是口才问题,而是陆教授对问题的本质看的清,逻辑思维清晰,必然会有这个回答.其他教授也应该会这么说,除非他不合格.

hxl268

Ω 的倒数1/Ω 就是非标准无穷小正数

elimqiu

下面引用由hxl268在 2010/11/25 11:40pm 发表的内容：
Ω 的倒数1/Ω 就是非标准无穷小正数

但不是最小正数。

luyuanhong

楼上 elimqiu 说得很对，在非标准分析中，1/Ω  是无穷小正数，但不是“最小正数”。
在非标准分析中，有
1/Ω ＞1/(Ω +1)＞1/(Ω +2)＞1/(2Ω )＞1/(3Ω )＞1/Ω ^2＞1/Ω ^3 ＞1/Ω ^Ω ＞1/Ω ^(2Ω )＞……
这样下去，可以找到越来越小的正数，所以，即使在非标准分析中，也不存在什么“最小正数”。

顽石

【点中有点】的说法，会产生矛盾，不能自圆其说！