地图四色猜测的证明

雷明85639720

地图四色猜测的证明
雷  明
（二○一六年十月二十六日）

    1、地图四色猜测：
1852年法朗西斯在给英国地图着色的过程中发现和提出：使两相邻区域不用同一颜色，任何一张地图四种颜色就够用了。
2、地图的特点：
地图是一个平面图，且是一个2—边连通的3—正则平面图。地图中每个顶点都连着3条边（界线）（即地图的每个顶点都是3度的），我们叫它“三界点”，这就是平时所说的“山高皇帝远的”“三不管地区”。
地图既是2—边连通的3—正则平面图，那么就有2—边连通的3—正则平面图的特点：即顶点数是偶数，边数是顶点数的1.5倍，可3—边着色等。
①　地图中的总度数是3v（v是“三界点”数），每条边的两端各是1度，地图中e条边的总度数则是2e，即有3v＝2e的关系。这个公式不但说明了地图的边数是顶点数的1.5倍（即e＝3v/2＝1.5 v），同时又说明了地图的顶点数一定是偶数，因为只有v是偶数时才能使边数e是整数，所以地图的顶点数一定是偶数。
②　地图中的每个顶点都边有3条边，相关联的边不能用同一种颜色，所以地图边着色时，至少要用三种颜色；又因为地图中的区域（面）的边数是任意的，所以某面的边数是奇数时，该面的边着色最多只要三种颜色就够用了；所以说地图又是可3—边着色的。
③　地图的边数是e＝1.5 v，那么图中着色的边也就是1.5 v，每个顶点都连结着3种颜色的边，所以1.5 v/3＝0.5v，即着每种颜色的边都是0.5v条，三种颜色的边的条数是相等的。
④　由于地图的每个顶点均连结着3种颜色的边，三种颜色的边又都相同，都是顶点数的一半；所以图中由某两种颜色构成的边2—色子图一定包括了地图中的所有顶点，并包括了图中三分之二的边数，剩余的三分之一的边就是着第三种颜色的边；第三种颜色的边的两个端点都是上述边2—色子图中的顶点。
3、地图是可4—面着色的：
我们把地图3—边着色中的某两种颜色构成的边2—色子图（实际上是回路）一侧的各区域都着以A色，把另一侧的各区域都着以B色；把另外两种颜色构成的边2—色子图（回路）的一侧的各区域都着以C色，把另一侧的各区域都着以D色。然后，把该两种边2—色子图叠加在一起，则就得到了整个的地图，各区域两种不同颜色叠加的结果如同画家配制颜色一样，则生成了四种新的颜色AC、BC、AD和BD，分别着在地图的各个区域中，且任两个有共同边界线的区域着有不同的颜色。
如正十二面体，就是一个3—正则的平面图（如图1），图2是它的3—边着色的结果。图3是●—★边2—色子图，回路内外各着A与B，如图4。图5是●—○边2—色子图，回路内外各着C与D，如图6。







图4与图6叠加的结果如图7，令AC、BC、AD和BD分别是红、兰、绿和黄四种颜色，则正十二面体4—着色的结果如图8所示。
复杂一点的地图也是一样的，都可以进行4—面着色。赫渥特地图的可4—面着色请见我的《用颜色叠加法对赫渥特地图4—着色》一文，网址是：十月二十五日在《中国博士网》“基础数学”栏目发表，读者可去看看。或者直接到我的博客中去看，网址是：。（注：网址发不上来——雷注）



到此，就证明了地图四色猜测是正确的。
4、平面图四色猜测：
由于地图也是平面图，且给地图中面的着色就是对其对偶图顶点的着色，所以四色问题就由地理学中的一个地理学的问题转化成了图论中的一个数学问题，地图四色猜测也就变成了平面图的四色猜测，即任何平面图（顶点着色）的色数一定小于等于4。
5、平面图也是可4—着色的：
地图（即2—边连通的3—正则平面图）是可4—面着色的，那么它的对偶图——极大图——也就是可4—顶点着色的。由任意的极大图经过减边或者去顶的办法，得到的任意平面图的色数只能是减少，而不可能再增大。所以也就证明了任意平面图也都是可4—（顶点）着色的，平面图的四色猜测也就得到了正明是正确的。
6、四色猜测是正确的：
以上已分别证明了地图的四色猜测和平面图的四色猜测都是正确的，所以也就证明了四色猜测是正确的。


雷  明
二○一六年十月二十六日于长安

注：此文已于二○一六年十月二十六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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