如图，BC＞AC ，AE=EB ，CH⊥AB ，∠ACF=∠FCB ，∠HCF=∠FCE ，求 ∠ACB 的角度

luyuanhong

这是网友 问题多答案怪 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

ccmmjj

角ACB＝90度，我推算了一下。只有直角三角形有这个性质。先确定下来再用反证法证明其它角不可能。

ccmmjj

证明：根据题意，∠ACF=∠FCB ，∠HCF=∠FCE 只要∠ACH=∠BCE就可以了。当∠ ACB＝90°时满足条件。现在用反证法，若∠ ACB>90°(∠ ACB<90°证法类似)
如下图，由连续性，存在AB上的点A',B'使AA'=BB'且∠ A’CB'＝90°.由勾股定理，可知CA’<CB',由大边对大角，∠ A>∠ B用正弦定理，可知△AA'C的外接圆半径r小于△BB'C的外接圆半径R。于是sin∠ACA'=AA'/2r,sin∠BCB'=BB'/2R.由此可知∠ACA'>∠BCB',这样，∠ACH>∠BCE.这就与题设矛盾。

luyuanhong

谢谢楼上 ccmmjj 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。