① K4团:M—操作后是一个非平面图(图中不但出现了在顶点以外边与边相交叉的情况,且9个顶点,应有3v-6=21条边,而实际上图中已是22条边了),不是四色猜测研究的对象了。所以含有K4团的平面图的色数一定是其顶点数4≯4;
② K3团:M—操作后还是一个平面图,色数是4,不大于4,但图中含有4—圈,从图1中可以看出,4—圈在M—操作后却是一个非平面图(图中出现了在顶点以外边与边相交叉的情况),也不是四色猜测测研究的对象了。所以K3团只能进行一次M—操作,色数最大是4≯4。因此,含有K3团的平面图的色数一定是小于等于4的;
③ K2团:M—操作后也是一个平面图的5—圈,色数是3,也不大于4,但对5—圈再进行一次M—操作时,从图1中也可以看出,得到的也是一个非平面图(图中也出现了在顶点以外边与边相交叉的情况),也不再是四色猜测研究的对象了。所以K2团只也能进行一次M—操作,色数最大是3≯4。因此,只含有K2团的平面图的色数也一定是小于4的;
④ K1团:K1团不可进行M—操作,因为K1团的密度本身只是1,而1—星本身的密度却是2,进行了M—操作后,虽然色数也增加了1,但图的密度也由1必然要增大到2,不符合M—操作密度不变的要求。而K1就只是一个孤立的顶点,一种颜色也就够用了。
4、四色猜测是正确的
综上所述,可以看出任何平面图(顶点)着色时,四种颜色一定够用了。这也就证明了四色猜测是正确的。这与用同化理论证明得出的结果一模一样。同化理论中K1团没有不可同化道路,色数只能是1;而这里K1团也不能进行M—操作,色数也只能是1。同化理论中K2团最多只有一条不可同化道路,密度是2的图的色数最大只能是3;而这里K2团也只能进行一次M—操作,密度是2的图的色数最大也只能是3。同化理论中K3团最多也只有一条不可同化道路,密度是3的图的色数最大只能是4;而这里K3团也只能进行一次M—操作,密度是3的图的色数最大也只能是4。同化理论中K4团是不可能有不可同化道路的,密度是4的平面图的色数也只能是4;而这里K4团也是不能进行M—操作的,密度是4的平面图的色数最大也只能是4。都说明了任何平面图的色数都是不大于4的。四色猜测是正确的。