用还原法证明四色猜测——四色猜测证明方法之十一

雷明85639720

用还原法证明四色猜测
——四色猜测证明方法之十一
雷  明
（二○一六年十一月五日）

由于平面图中一定存在着度小于等于5的顶点，若把这些顶点从图中去掉时，图仍然还是一个平面图，但同时又会产生新的度小于等于5的顶点。再把新生成的度小于等于5的顶点去掉，又产生新的度小于等于5的顶点。就这样一直的把度小于等于5的顶点“去掉”下去，图最后将成为一个顶点数为1的K1图，只用一种颜色就够了。
现在再按“去点”时的相反方向往回走，先把最后一次去掉的那个度小于等于5的顶点还原上去，图中就有两个顶点，这时一定是K1图，两种颜色也就够用了；再把最后第二次去掉的那个度小于等于5的顶点还原上去，图中就有3个顶点了，最多三种颜色就够用了（因为这时图可能是一条道路，只用两种颜色，若是一个圈K3时，就得用三种颜色）；第三步再把最后第三次去掉的那个度小于等于5的顶点还原上去，图中就有4个顶点了，同样，也最多只用四种颜色就够用了；若按次序再还原上一个顶点时，这时图中就有5个顶点了，但这第5个顶点与前4个顶点的相邻关系可能是：
①　前4 个顶点间没有构成密度是4的K4团时，这四个顶点最多只占用三种颜色，第5个顶点虽然可以与前4个顶点均相邻，但至少仍有一种颜色可以着上，图的色数没有大于4；
②　前4个顶点若构成了密度是4的K4团时，这四个顶点就占用完了四种颜色，但第5个顶点最多却只能与前4个顶点的3个顶点相邻，否则图将成为非平面图，会出现在顶点之外边与边的相交叉。这时，第5个顶点仍有一种颜色可以着上，图的色数没有大于4。
按次序再还原第6个顶点时，与第5个还原顶点相同，该顶点最多只可能与图中的K4团有3个顶点相邻，或者前5个顶点构成的图的密度小于4时，都至少还有一种颜色可以着上；
以后再按次序还原的顶点，与已还原的顶点的相邻关系，也都只能是以上的两种情况，所还原的顶点均可着以四种颜色之一。一直到把原图中的所有顶点都还原完毕，图中都不会出现使用四种颜色以外的第五种颜色的情况。这也就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一六年十一月五日于长安

注：此文已于二○一六年十一月五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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