正整数数列 {a(n)} 满足 a(n+3)=a(n+2)[a(n+1)+2a(n)] ，a(6)=2288，求 (a(1),a(2))

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

天山草

2# 楼的解法严丝合缝，无懈可击。
下面我用软件做做看哈。
由于 a4=a3(a2+2a1),   a5=a4(a3+2a2),   a6=a5(a4+2a3),
所以   a6=a5(a4+2a3)=a4(a3+2a2)(a4+2a3)=a3(a2+2a1)(a3+2a2)(a3(a2+2a1)+2a3)=2288.
用 mathematica 写出解方程的指令如下：
Solve[{a3 (a2+2a1) (a3+2a2) (a3 (a2+2a1)+2a3) == 2288, a1>0, a2>0, a3>0}, {a1, a2, a3}, Integers]
  
运行结果是：

  {{a1->5, a2->1, a3->2}}

即  a1=5,  a2=1,  a3=2。

luyuanhong

谢谢楼上 天山草 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天山草

又看了一下 3# 的解答，并不好，因为其中有人工干预。

下面这个做法好：

Solve[{Eliminate[{a5 (a4 + 2 a3) == 2288, a5 == a4 (a3 + 2 a2), a4 == a3 (a2 + 2 a1)}, {a4, a5}], a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0}, {a1, a2, a3}, Integers]

运行结果与 3# 楼的相同：

{{a1->5,a2->1,a3->2}}

说明： Eliminate[{a5 (a4 + 2 a3) == 2288, a5 == a4 (a3 + 2 a2), a4 == a3 (a2 + 2 a1)}, {a4, a5}]  的意思是在所给的三个原始方程中，消去 a4 和 a5 两个变量，然后再求解。由程序自动消去 a4 和 a5 后得到的方程是
a1^2 a3^2 (8 a2 + 4 a3) +  a1 a3^2 (8 a2^2 + 4 a2 a3 + 8 a2 + 4 a3) == -2 a2^3 a3^2 -  a2^2 a3^3 - 4 a2^2 a3^2 - 2 a2 a3^3 + 2288。
运行过程中，没让显示出上述只含 a1、a2、a3 的方程。

如果要将消去 a4 和 a5 后的方程化简，可以用以下化简指令和因式分解指令：
Factor[Simplify[Eliminate[{a5 (a4 + 2 a3) == 2288, a5 == a4 (a3 + 2 a2), a4 == a3 (a2 + 2 a1)}, {a4, a5}]]]

运行结果是： a3^2 (2 a1+a2) (2 a1+a2+2) (2 a2+a3)==2288。这个方程跟陆教授手工化简的完全一样。

天山草

那么能不能让软件来自动消元，解出 a1、a2、a3 呢？就像下面这样写程序：

Solve[{a5 (a4 + 2 a3) == 2288, a5 == a4 (a3 + 2 a2),  a4 == a3 (a2 + 2 a1), a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0}, {a1, a2, a3}, Integers]

经试验，这是不行的，程序运行后，始终处于运行状态，给不出结果。

上网查，还有这样一条指令，就是指定消去哪些变元：

Solve[{a5 (a4 + 2 a3) == 2288, a5 == a4 (a3 + 2 a2), a4 == a3 (a2 + 2 a1), a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0}, {a1, a2, a3}, {a4, a5}, Integers]  
如上面红色所示，这样程序就正确了。

luyuanhong

谢谢楼上 天山草 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

iya81io

朋友不错，谢谢您的努力，顶了












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